1. อาชีพสโมสร
รยู วอน-อู ได้สร้างเส้นทางอาชีพในฐานะผู้รักษาประตูมืออาชีพในเคลีกของเกาหลีใต้ โดยเริ่มต้นจากการเป็นนักเตะเยาวชนและก้าวขึ้นสู่ทีมชุดใหญ่ของหลายสโมสร ซึ่งแต่ละช่วงเวลาได้แสดงให้เห็นถึงพัฒนาการและความสำคัญของเขาต่อทีม
1.1. ชุนนัม ดรากอนส์ และอาชีพช่วงต้น
รยู วอน-อู เริ่มต้นเส้นทางนักฟุตบอลจากทีมเยาวชนของชุนนัม ดรากอนส์ ที่โรงเรียนมัธยมปลายกวางยัง เจชอล ก่อนที่จะเข้าร่วมทีมอาชีพชุนนัม ดรากอนส์ ในปี ค.ศ. 2009 การเปิดตัวในระดับอาชีพครั้งแรกของเขาเกิดขึ้นในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 2011 ในการแข่งขันลีกคัพกับปูซาน ไอพาร์ค ซึ่งทีมพ่ายแพ้และเสียไป 1 ประตู หลังจากนั้นเป็นเวลากว่าหนึ่งปีที่เขายังคงเป็นผู้รักษาประตูสำรอง จนกระทั่งได้ลงสนามในเคลีกครั้งแรกเมื่อวันที่ 17 มิถุนายน ค.ศ. 2012 ในการแข่งขันกับแดจอน ซิตี้เซน ซึ่งในเกมนั้นเขาได้โชว์ฟอร์มยอดเยี่ยมด้วยการเซฟลูกยิงตรงกรอบถึง 9 ครั้ง รวมถึงลูกจุดโทษของเควิน ออริส ส่งผลให้เขาได้รับเลือกเป็นผู้เล่นทรงคุณค่าประจำสัปดาห์เป็นครั้งแรกในชีวิต และหลังจากนั้นเขาก็ได้รับความไว้วางใจให้ทำหน้าที่เฝ้าเสาแทนอี อุน-แจตลอดฤดูกาลที่เหลือ ในวันที่ 2 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 2014 เขาถูกยืมตัวไปเล่นให้กับกวางจู เอฟซี เป็นเวลาหนึ่งปี พร้อมกับจอง จุน-ยอน
1.2. ช่วงเวลาที่บูชอน เอฟซี
ในวันที่ 19 มีนาคม ค.ศ. 2015 มีการประกาศว่ารยู วอน-อู ได้ย้ายไปร่วมทีมบูชอน เอฟซี ซึ่งในระหว่างฤดูกาล 2015 เขาสามารถเอาชนะคู่แข่งและก้าวขึ้นมาเป็นผู้รักษาประตูตัวหลักของทีมได้สำเร็จ ในฤดูกาล 2016 เขาได้ลงสนามในลีกถึง 40 นัด และมีบทบาทสำคัญในการช่วยให้ทีมบูชอน เอฟซี ผ่านเข้าสู่รอบเพลย์ออฟของเคลีก 2
1.3. โพฮัง สตีลเลอร์ส และการเกณฑ์ทหาร
ในวันที่ 4 มกราคม ค.ศ. 2018 รยู วอน-อู ได้ย้ายไปร่วมทีมโพฮัง สตีลเลอร์ส ในปี ค.ศ. 2020 ก่อนฤดูกาลจะเริ่มต้นขึ้น เขาได้ถูกยืมตัวไปเล่นให้กับปาจู ซิติเซน เอฟซี ซึ่งเป็นทีมในเคลีก 4 เพื่อปฏิบัติหน้าที่บริการสังคมตามข้อกำหนดของการเกณฑ์ทหารในเกาหลีใต้ หลังจากเสร็จสิ้นการปฏิบัติหน้าที่บริการสังคมในเดือนมีนาคม ค.ศ. 2022 เขาก็ได้กลับมาร่วมทีมโพฮัง สตีลเลอร์ส อีกครั้ง
1.4. อาชีพปัจจุบัน
ก่อนฤดูกาล 2023 จะเริ่มต้นขึ้น รยู วอน-อู ได้เข้าร่วมทีมชุงบุก ชองจู เอฟซี และปัจจุบันเขายังคงเป็นนักฟุตบอลที่เล่นในตำแหน่งผู้รักษาประตูให้กับสโมสรคยองนัม เอฟซี