1. ภาพรวม
ยูจีนิโอ คาลาบี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันเชื้อสายอิตาลี ผู้มีความเชี่ยวชาญในสาขาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เขาเป็นที่รู้จักจากคุณูปการพื้นฐานหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตคาห์เลอร์ ซึ่งรวมถึงการนำเสนอข้อคาดการณ์คาลาบี ซึ่งต่อมาได้รับการพิสูจน์โดย丘成桐ชิง-ถง เหยาChinese และนำไปสู่การพัฒนาเมตริกคาลาบี-เยาว์ ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีสตริง นอกจากนี้ เขายังมีผลงานสำคัญในการพัฒนาการไหลของคาลาบี และทฤษฎีบทเปรียบเทียบลาปลาเซียน ครอบครัวของเขาอพยพจากอิตาลีมายังสหรัฐอเมริกาในปี 1939 เพื่อหลีกหนีกฎหมายเชื้อชาติอิตาลี เขาเข้ารับการศึกษาที่MIT และมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน และดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนียตลอดอาชีพการงานอันยาวนานของเขา
2. ชีวิตช่วงต้นและภูมิหลัง
ยูจีนิโอ คาลาบี เกิดในครอบครัวชาวยิวที่ต้องเผชิญกับการอพยพเนื่องจากกฎหมายเชื้อชาติ และได้สร้างรากฐานการศึกษาที่แข็งแกร่งในสหรัฐอเมริกา
2.1. การเกิดและครอบครัว
ยูจีนิโอ คาลาบี เกิดที่มิลาน อิตาลี เมื่อวันที่ 11 พฤษภาคม พ.ศ. 2466 ในครอบครัวชาวยิว พี่สาวของเขาคือ Tullia Zevi Calabiภาษาอิตาลี ซึ่งเป็นนักข่าว เขาแต่งงานกับ Giuliana Segreภาษาอิตาลี ในปี 1952 และมีบุตรชายหนึ่งคนและบุตรสาวหนึ่งคน
2.2. การอพยพเนื่องจากกฎหมายเชื้อชาติ
ในปี 1938 ครอบครัวของยูจีนิโอ คาลาบี ต้องละทิ้งอิตาลีเนื่องจากกฎหมายเชื้อชาติอิตาลี ซึ่งเป็นกฎหมายที่เลือกปฏิบัติต่อชาวยิว และในปี 1939 พวกเขาได้เดินทางมาถึงสหรัฐอเมริกา
2.3. การศึกษา
ในฤดูใบไม้ร่วงปี 1939 ขณะอายุเพียง 16 ปี ยูจีนิโอ คาลาบี ได้เข้าศึกษาที่MIT ในสาขาวิศวกรรมเคมี การศึกษาของเขาถูกขัดขวางเมื่อเขาถูกเกณฑ์เข้ากองทัพสหรัฐในปี 1943 และรับราชการในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง หลังจากปลดประจำการในปี 1946 เขาสามารถสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีภายใต้G.I. Bill และได้รับเลือกเป็น Putnam Fellow ซึ่งเป็นผู้ได้รับรางวัลจากการแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับประเทศสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรี เขาได้รับปริญญาโทสาขาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์แบนา-แชมเปญในปี 1947 และได้รับปริญญาเอกสาขาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในปี 1950 วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาชื่อ "Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds" (การฝังเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนแบบไอโซเมตริกของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์) อยู่ภายใต้การดูแลของ Salomon Bochnerภาษาเยอรมัน
3. อาชีพในวงการวิชาการ
ยูจีนิโอ คาลาบี มีอาชีพในวงการวิชาการที่โดดเด่น โดยดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ในมหาวิทยาลัยชั้นนำหลายแห่งและได้รับเกียรติยศสูงสุดในสาขาของเขา
3.1. ตำแหน่งศาสตราจารย์และสังกัด
ตั้งแต่ปี 1951 ถึง 1955 ยูจีนิโอ คาลาบี เป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยรัฐหลุยเซียน่า และในปี 1955 เขาย้ายไปที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตา ซึ่งเขาได้รับการแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์เต็มตัวในปี 1960 ในปี 1964 คาลาบี ได้เข้าร่วมคณะคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย หลังจากHans Rademacherภาษาเยอรมัน เกษียณอายุ ในปี 1968 เขาได้รับการแต่งตั้งให้ดำรงตำแหน่ง Thomas A. Scott Professorship of Mathematics ที่มหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย ในปี 1994 คาลาบี ได้รับสถานะศาสตราจารย์กิตติคุณ และในปี 2014 มหาวิทยาลัยได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์สาขาวิทยาศาสตร์ให้แก่เขา
4. รางวัลและการยอมรับ
ตลอดอาชีพการงานของเขา ยูจีนิโอ คาลาบี ได้รับรางวัลและเกียรติยศมากมาย ซึ่งสะท้อนถึงคุณูปการอันยิ่งใหญ่ของเขาต่อวงการคณิตศาสตร์
ในปี 1982 ยูจีนิโอ คาลาบี ได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของสถาบันบัณฑิตวิทยาศาสตร์แห่งชาติ ในปี 1991 เขาได้รับรางวัลเลอรอย พี. สตีลจากสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (AMS) โดยมีการกล่าวถึงผลงานของเขาว่า "ผลงานพื้นฐานของเขาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โดยรวม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน" ได้ "เปลี่ยนแปลงภูมิทัศน์ของสาขานี้อย่างลึกซึ้ง" ในปี 2012 เขาได้เป็น Fellow ของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน และในปี 2021 เขาได้รับรางวัล Commander of the เครื่องราชอิสริยาภรณ์คุณธรรมแห่งสาธารณรัฐอิตาลี (Order of Merit of the Italian Republic)
5. คุณูปการทางคณิตศาสตร์
ยูจีนิโอ คาลาบี มีคุณูปการมากมายต่อสาขาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย โดยผลงานของเขามีอิทธิพลอย่างกว้างขวางและเป็นรากฐานสำหรับการวิจัยในอนาคต เขาเคยกล่าวว่าบทความของเขาเรื่อง "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens" เป็นผลงานที่เขา "ภาคภูมิใจมากที่สุด" ผลงานอื่น ๆ ของเขายังรวมถึงการสร้าง holomorphic version ของ long line ร่วมกับ Maxwell Rosenlichtภาษาอังกฤษ, การศึกษา moduli space ของ space form, การระบุว่าเมื่อใดจะสามารถหา Riemannian metric ได้เพื่อให้ differential form ที่กำหนดเป็น harmonic, และงานวิจัยต่าง ๆ เกี่ยวกับ affine geometry
5.1. เรขาคณิตคาห์เลอร์
ยูจีนิโอ คาลาบี มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาเรขาคณิตคาห์เลอร์ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ในการประชุมสภาคณิตศาสตร์นานาชาติปี 1954 เขาได้ประกาศทฤษฎีบทเกี่ยวกับวิธีการกำหนดความโค้งริชชีของเมตริกคาห์เลอร์ ซึ่งต่อมาเขาพบว่าการพิสูจน์ของเขาผ่านวิธีความต่อเนื่อง (method of continuity) มีข้อบกพร่อง และผลลัพธ์ดังกล่าวจึงกลายเป็นที่รู้จักในชื่อข้อคาดการณ์คาลาบี ในปี 1957 คาลาบี ได้ตีพิมพ์บทความที่ระบุข้อคาดการณ์นี้เป็นข้อเสนอ แต่มีการพิสูจน์ที่ไม่สมบูรณ์อย่างเปิดเผย เขาสามารถให้การพิสูจน์ที่สมบูรณ์ว่าคำตอบของปัญหาจะต้องถูกกำหนดเพียงหนึ่งเดียว แต่สามารถลดปัญหาการมีอยู่ของคำตอบไปสู่ปัญหาการสร้างประมาณการเบื้องต้น (a priori estimates) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางอย่างเท่านั้น
ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1970 丘成桐ชิง-ถง เหยาChinese ได้เริ่มทำงานเกี่ยวกับข้อคาดการณ์คาลาบี โดยเริ่มต้นจากการพยายามหักล้างมัน หลังจากทำงานหลายปี เขาก็พบการพิสูจน์ข้อคาดการณ์ดังกล่าว และสามารถสร้างผลลัพธ์ที่น่าทึ่งหลายอย่างในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจากการพิสูจน์นั้น ในกรณีพิเศษของข้อคาดการณ์นี้ เมตริกคาห์เลอร์ที่มีความโค้งริชชีเป็นศูนย์ได้ถูกสร้างขึ้นบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ เมตริกคาลาบี-เยาว์ เมตริกเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในงานวิจัยทฤษฎีสตริงตั้งแต่คริสต์ทศวรรษ 1980
ในปี 1982 คาลาบี ได้นำเสนอการไหลเชิงเรขาคณิต (geometric flow) ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการไหลของคาลาบี (Calabi flow) เพื่อใช้ในการหาเมตริกคาห์เลอร์ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่ โดยรวมแล้ว คาลาบี ได้นำเสนอแนวคิดของ เมตริกคาห์เลอร์แบบสุดขีด (extremal Kähler metric) และได้พิสูจน์ (ในบรรดาผลลัพธ์อื่น ๆ) ว่าเมตริกเหล่านี้ให้ค่าต่ำสุดทั่วโลกที่เข้มงวดของ ฟังก์ชันนัลคาลาบี (Calabi functional) และเมตริกความโค้งสเกลาร์คงที่ใด ๆ ก็เป็นค่าต่ำสุดทั่วโลกเช่นกัน ต่อมา คาลาบี และ 陈秀雄ซิ่วซฺยง เฉินChinese ได้ทำการศึกษาอย่างละเอียดเกี่ยวกับเมตริกที่นำเสนอโดย Toshiki Mabuchiภาษาญี่ปุ่น และแสดงให้เห็นว่าการไหลของคาลาบีจะลดระยะทาง Mabuchi ระหว่างเมตริกคาห์เลอร์สองเมตริกใด ๆ นอกจากนี้ พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าเมตริก Mabuchi ทำให้ปริภูมิของเมตริกคาห์เลอร์มีโครงสร้างของปริภูมิอเล็กซานดรอฟที่มีความโค้งไม่เป็นบวก ความยากทางเทคนิคของงานของพวกเขาคือ geodesics ในบริบทที่มีมิติอนันต์ของพวกเขาอาจมีความสามารถในการหาอนุพันธ์ต่ำ
การสร้างที่มีชื่อเสียงของ คาลาบี คือการสร้างเมตริกคาห์เลอร์ที่สมบูรณ์บนปริภูมิทั้งหมดของเฮอร์มิเชียนเวกเตอร์บันเดิล (hermitian vector bundles) ซึ่งมีความโค้งถูกจำกัดจากด้านล่าง ในกรณีที่ฐานเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์-ไอน์สไตน์ที่สมบูรณ์ และเวกเตอร์บันเดิลมีอันดับหนึ่งและความโค้งคงที่ จะได้เมตริกคาห์เลอร์-ไอน์สไตน์ที่สมบูรณ์บนปริภูมิทั้งหมด ในกรณีของโคแทนเจนต์บันเดิล (cotangent bundle) ของปริภูมิเชิงซ้อน (complex space form) จะได้แมนิโฟลด์ไฮเปอร์คาห์เลอร์ (hyperkähler metric) ปริภูมิ Eguchi-Hanson เป็นกรณีพิเศษของการสร้างของ คาลาบี
5.2. การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิต
คาลาบี มีคุณูปการสำคัญต่อการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเชื่อมโยงแนวคิดทางเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ เขาได้ค้นพบ ทฤษฎีบทเปรียบเทียบลาปลาเซียน (Laplacian comparison theorem) ในเรขาคณิตรีมันเนียน ซึ่งเชื่อมโยงตัวดำเนินการลาปลาซ-เบลตรามี (Laplace-Beltrami operator) เมื่อนำไปใช้กับฟังก์ชันระยะทางรีมันเนียน (Riemannian distance function) เข้ากับความโค้งริชชี โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันระยะทางรีมันเนียนจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ซึ่งก่อให้เกิดความยากลำบากในการกำหนดทฤษฎีบทในรูปแบบทั่วโลก คาลาบี ได้ใช้แนวคิดทั่วไปของอสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมีมาก่อนผลเฉลยความหนืด (viscosity solutions) ที่นำเสนอโดย Michael Crandallภาษาอังกฤษ และ Pierre-Louis Lionsภาษาฝรั่งเศส ในภายหลัง โดยการขยายหลักการค่าสูงสุดแบบเข้ม (strong maximum principle) ของ Eberhard Hopfภาษาเยอรมัน ไปสู่แนวคิดของเขาเกี่ยวกับผลเฉลยความหนืด คาลาบี สามารถใช้ทฤษฎีบทเปรียบเทียบลาปลาเซียนของเขาเพื่อขยายผลลัพธ์ล่าสุดของ Joseph Kellerภาษาอังกฤษ และ Robert Ossermanภาษาอังกฤษ ไปยังบริบทของเรขาคณิตรีมันเนียน การขยายเพิ่มเติม โดยอาศัยการใช้หลักการค่าสูงสุดที่แตกต่างกัน ได้ถูกค้นพบในภายหลังโดย 鄭紹遠ชิว-ยฺเหวียน เจิ้งChinese และ 丘成桐ชิง-ถง เหยาChinese และคนอื่น ๆ
ในทำนองเดียวกับปัญหาเบิร์นสไตน์ (Bernstein problem) แบบคลาสสิกสำหรับพื้นผิวน้อยที่สุด (minimal surfaces) คาลาบี ได้พิจารณาปัญหาที่คล้ายกันสำหรับพื้นผิวสูงสุด (maximal surfaces) โดยได้แก้ไขปัญหาในมิติที่ต่ำ คำตอบที่ไม่มีเงื่อนไขถูกค้นพบในภายหลังโดย 鄭紹遠ชิว-ยฺเหวียน เจิ้งChinese และ 丘成桐ชิง-ถง เหยาChinese โดยใช้ กลเม็ดคาลาบี (Calabi trick) ซึ่ง คาลาบี เป็นผู้บุกเบิกเพื่อหลีกเลี่ยงการไม่สามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันระยะทางรีมันเนียน ในงานที่คล้ายกัน คาลาบี ได้พิจารณาผลเฉลยแบบนูน (convex solutions) ของสมการมงจ์-อองแปร์ (Monge-Ampère equation) ที่ถูกกำหนดบนปริภูมิยูคลิดทั้งหมดและมี 'ด้านขวามือ' เท่ากับหนึ่ง Konrad Jörgensภาษาเยอรมัน ได้ศึกษาปัญหานี้มาก่อนสำหรับฟังก์ชันสองตัวแปร โดยพิสูจน์ว่าผลเฉลยใด ๆ เป็นพหุนามกำลังสอง โดยการตีความปัญหาว่าเป็นปัญหาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงอัฟฟิน คาลาบี สามารถนำงานก่อนหน้าของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทเปรียบเทียบลาปลาเซียนมาใช้เพื่อขยายงานของ Konrad Jörgensภาษาเยอรมัน ไปยังมิติที่สูงขึ้นบางส่วน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ในภายหลังโดย Алексей Погореловอะเลคเซย์ โปโกเรลอฟภาษารัสเซีย และผลลัพธ์นี้มักรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบท Jörgens-Calabi-Pogorelov
ต่อมา คาลาบี ได้พิจารณาปัญหาของไฮเปอร์สเฟียร์เชิงอัฟฟิน (affine hyperspheres) โดยเริ่มแรกได้ระบุคุณลักษณะของพื้นผิวเหล่านี้ว่าเป็นพื้นผิวที่การแปลงเลอฌ็องด์ร (Legendre transform) แก้สมการมงจ์-อองแปร์บางอย่าง โดยการปรับวิธีการก่อนหน้าของเขาในการขยายทฤษฎีบทของ Konrad Jörgensภาษาเยอรมัน คาลาบี สามารถจำแนกไฮเปอร์สเฟียร์เชิงวงรีเชิงอัฟฟิน (affine elliptic hyperspheres) ที่สมบูรณ์ได้ ผลลัพธ์เพิ่มเติมได้ถูกค้นพบในภายหลังโดย 鄭紹遠ชิว-ยฺเหวียน เจิ้งChinese และ 丘成桐ชิง-ถง เหยาChinese
5.3. เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
คาลาบี มีบทบาทสำคัญในการวิจัยหลายด้านของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งได้นำไปสู่การค้นพบแนวคิดและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ คาลาบี และ Beno Eckmannภาษาเยอรมัน ได้ค้นพบแมนิโฟลด์คาลาบี-เอ็คแมน (Calabi-Eckmann manifold) ในปี 1953 แมนิโฟลด์นี้เป็นที่น่าสังเกตว่าเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เชื่อมโยงอย่างง่าย (simply-connected) ซึ่งไม่รองรับเมตริกคาห์เลอร์ใด ๆ
ได้รับแรงบันดาลใจจากงานล่าสุดของ Kunihiko Kodairaภาษาญี่ปุ่น คาลาบี และ Edoardo Vesentiniภาษาอิตาลี ได้พิจารณาความแข็งแกร่งเชิงอนันต์ (infinitesimal rigidity) ของผลหารเชิงโฮโลมอร์ฟิก (holomorphic quotients) แบบกะทัดรัดของโดเมนคาร์ตัน (Cartan domains) ในปี 1960 โดยใช้เทคนิคบอคเนอร์ (Bochner technique) และการพัฒนาชีฟโคฮอโมโลยี (sheaf cohomology) ของ Kunihiko Kodairaภาษาญี่ปุ่น พวกเขาได้พิสูจน์ความแข็งแกร่งของกรณีมิติที่สูงขึ้น งานของพวกเขามีอิทธิพลต่องานในภายหลังของ George Mostow และ Grigori Margulis ซึ่งได้สร้างผลลัพธ์ความแข็งแกร่งทั่วโลกของพวกเขาจากการพยายามทำความเข้าใจผลลัพธ์ความแข็งแกร่งเชิงอนันต์ เช่น ของ คาลาบี และ Edoardo Vesentiniภาษาอิตาลี รวมถึงงานที่เกี่ยวข้องโดย Atle Selbergภาษานอร์เวย์ และ André Weilภาษาฝรั่งเศส
คาลาบี และ Lawrence Markusภาษาอังกฤษ ได้พิจารณาปัญหาของปริภูมิรูปทรง (space forms) ที่มีความโค้งเป็นบวกในเรขาคณิตลอเรนซ์ (Lorentzian geometry) ในปี 1962 ผลลัพธ์ของพวกเขา ซึ่ง Joseph A. Wolfภาษาอังกฤษ ถือว่า "น่าประหลาดใจมาก" ยืนยันว่ากลุ่มมูลฐาน (fundamental group) จะต้องเป็นกลุ่มจำกัด (finite group) และกลุ่มไอโซเมตรี (isometries) ที่สอดคล้องกันของปริภูมิเดอซิตเตอร์ (de Sitter space) (ภายใต้เงื่อนไขการวางแนว) จะกระทำอย่างซื่อสัตย์โดยไอโซเมตรีบนทรงกลมเส้นศูนย์สูตร ดังนั้น ปัญหาปริภูมิรูปทรงของพวกเขาจึงลดลงเหลือเพียงปัญหาปริภูมิรูปทรงรีมันเนียนที่มีความโค้งเป็นบวก
งานของ John Nash ในคริสต์ทศวรรษ 1950 ได้พิจารณาปัญหาของการฝังแบบไอโซเมตริก (isometric embeddings) งานของเขาแสดงให้เห็นว่าการฝังดังกล่าวมีความยืดหยุ่นและสามารถเปลี่ยนรูปได้ง่ายมาก ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา คาลาบี ได้พิจารณากรณีพิเศษของการฝังแบบไอโซเมตริกเชิงโฮโลมอร์ฟิก (holomorphic isometric embeddings) เข้าไปในปริภูมิรูปทรงเรขาคณิตเชิงซ้อน (complex-geometric space forms) มาก่อนในปี 1953 ผลลัพธ์ที่น่าทึ่งของเขาแสดงให้เห็นว่าการฝังดังกล่าวถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยเรขาคณิตภายใน (intrinsic geometry) และความโค้งของปริภูมิรูปทรงที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ เขายังสามารถศึกษาปัญหาการมีอยู่ของคำตอบผ่านการนำเสนอ ฟังก์ชันไดแอสแตติก (diastatic function) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดเฉพาะที่สร้างขึ้นจากศักย์คาห์เลอร์ (Kähler potentials) และเลียนแบบฟังก์ชันระยะทางรีมันเนียน คาลาบี พิสูจน์ว่าการฝังแบบไอโซเมตริกเชิงโฮโลมอร์ฟิกจะต้องรักษาฟังก์ชันไดแอสแตติกไว้ ด้วยเหตุนี้ เขาจึงสามารถได้รับเกณฑ์สำหรับการมีอยู่เฉพาะที่ของการฝังแบบไอโซเมตริกเชิงโฮโลมอร์ฟิก
ต่อมา คาลาบี ได้ศึกษาพื้นผิวน้อยที่สุดสองมิติ (ที่มีโคไดเมนชันสูง) ในทรงกลมกลม (round spheres) ในปี 1967 เขาพิสูจน์ว่าพื้นที่ของพื้นผิวน้อยที่สุดเชิงโทโพโลยีทรงกลมสามารถมีค่าได้เพียงชุดค่าที่ไม่ต่อเนื่อง และพื้นผิวเหล่านั้นถูกจำแนกโดยเส้นโค้งตรรกยะ (rational curves) ในปริภูมิเฮอร์มิเชียนสมมาตร (hermitian symmetric space) บางประเภท
6. ชีวิตส่วนตัว
ยูจีนิโอ คาลาบี แต่งงานกับ Giuliana Segreภาษาอิตาลี ในปี 1952 และมีบุตรชายหนึ่งคนและบุตรสาวหนึ่งคน
7. การเสียชีวิต
ยูจีนิโอ คาลาบี เสียชีวิตเมื่อวันที่ 25 กันยายน พ.ศ. 2566 ที่บ้านของเขาในบรีน มาวร์ (Bryn Mawr) รัฐเพนซิลเวเนีย ขณะอายุได้ 100 ปี
8. มรดกและอิทธิพล
ผลงานของยูจีนิโอ คาลาบี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมตริกคาลาบี-เยาว์ มีอิทธิพลอย่างมากต่อสาขาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์ทฤษฎี เมตริกคาลาบี-เยาว์ได้กลายเป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีสตริงตั้งแต่คริสต์ทศวรรษ 1980 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎี คุณูปการของเขายังคงเป็นรากฐานสำหรับการวิจัยในเรขาคณิตคาห์เลอร์, การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิต และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยมีแนวคิดและทฤษฎีบทหลายอย่างที่ยังคงถูกศึกษาและพัฒนาต่อยอดโดยนักคณิตศาสตร์ทั่วโลก
9. ผลงานตีพิมพ์ที่สำคัญ
ยูจีนิโอ คาลาบี เป็นผู้เขียนบทความวิจัยน้อยกว่าห้าสิบชิ้น ซึ่งรวมถึง:
- "Isometric imbedding of complex manifolds." (การฝังแบบไอโซเมตริกของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน) Annals of Mathematics (2) 58 (1953), หน้า 1-23.
- "A class of compact, complex manifolds which are not algebraic." (ชั้นของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบกะทัดรัดที่ไม่เป็นพีชคณิต) Annals of Mathematics (2) 58 (1953), หน้า 494-500. (ร่วมกับ Beno Eckmannภาษาเยอรมัน)
- "The space of Kähler metrics." (ปริภูมิของเมตริกคาห์เลอร์) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II (1954), หน้า 206-207.
- "On Kähler manifolds with vanishing canonical class." (บนแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ที่มีชั้นบัญญัติเป็นศูนย์) Algebraic Geometry and Topology (1957), หน้า 78-89.
- "An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry." (การขยายหลักการค่าสูงสุดของ E. Hopf พร้อมการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตรีมันเนียน) Duke Mathematical Journal 25 (1958), หน้า 45-56.
- "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens." (ไฮเปอร์สเฟียร์เชิงอัฟฟินไม่เหมาะสมชนิดนูนและการขยายทฤษฎีบทโดย K. Jörgens) Michigan Mathematical Journal 5 (1958), ฉบับที่ 2, หน้า 105-126.
- "On compact, locally symmetric Kähler manifolds." (บนแมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบกะทัดรัดและสมมาตรเฉพาะที่) Annals of Mathematics (2) 71 (1960), ฉบับที่ 3, หน้า 472-507. (ร่วมกับ Edoardo Vesentiniภาษาอิตาลี)
- "Relativistic space forms." (ปริภูมิรูปทรงสัมพัทธภาพ) Annals of Mathematics (2) 75 (1962), ฉบับที่ 1, หน้า 63-76. (ร่วมกับ L. Markusภาษาอังกฤษ)
- "Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres." (การฝังแบบน้อยที่สุดของพื้นผิวในทรงกลมยูคลิด) Journal of Differential Geometry 1 (1967), ฉบับที่ 1-2, หน้า 111-125.
- "Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations." (ตัวอย่างของปัญหาเบิร์นสไตน์สำหรับสมการไม่เชิงเส้นบางอย่าง) Global Analysis (1970), หน้า 223-230.
- "Complete affine hyperspheres. I." (ไฮเปอร์สเฟียร์เชิงอัฟฟินที่สมบูรณ์ เล่ม 1) Symposia Mathematica X (1972), หน้า 19-38.
- "Métriques kählériennes et fibrés holomorphes." (เมตริกคาห์เลอร์และเฮอร์มิเชียนเวกเตอร์บันเดิล) Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (4) 12 (1979), ฉบับที่ 2, หน้า 269-294.
- "Extremal Kähler metrics." (เมตริกคาห์เลอร์แบบสุดขีด) Seminar on Differential Geometry (1982), หน้า 259-290.
- "Extremal Kähler Metrics II." (เมตริกคาห์เลอร์แบบสุดขีด เล่ม 2) Differential Geometry and Complex Analysis (1985), หน้า 95-114.
- "The space of Kähler metrics. II." (ปริภูมิของเมตริกคาห์เลอร์ เล่ม 2) Journal of Differential Geometry 61 (2002), ฉบับที่ 2, หน้า 173-193. (ร่วมกับ 陈秀雄ซิ่วซฺยง เฉินChinese)
- ผลงานรวมของยูจีนิโอ คาลาบี ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2021 ในชื่อ Collected Works (ผลงานรวม) โดยมี Jean-Pierre Bourguignonภาษาฝรั่งเศส, 陈秀雄ซิ่วซฺยง เฉินChinese และ Simon Donaldsonภาษาอังกฤษ เป็นบรรณาธิการ