คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ | วิกิ AI วันนี้

1. ประวัติ

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เป็นนักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ผู้ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาหลายสาขาของวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ชีวิตของเขาเต็มไปด้วยการค้นพบที่โดดเด่นและอิทธิพลต่อวงการวิชาการ

1.1. วัยเด็กและการศึกษา

บ้านเกิดของเกาส์ในเบราน์ชไวค์ (ถูกทำลายในสงครามโลกครั้งที่สอง)

บ้านพักของเกาส์ในวัยนักศึกษาที่เกิททิงเงิน

เกาส์เกิดเมื่อวันที่ 30 เมษายน พ.ศ. 2320 ที่เมืองเบราน์ชไวค์ ในดัชชีเบราน์ชไวค์-ว็อลเฟินบึทเทิล (ปัจจุบันอยู่ในรัฐนีเดอร์ซัคเซินของเยอรมนี) ครอบครัวของเขามีฐานะทางสังคมค่อนข้างต่ำ บิดาของเขา เกบฮาร์ด ดีทริช เกาส์ (พ.ศ. 2287-2351) ทำงานหลากหลายอาชีพ เช่น คนขายเนื้อ ช่างก่ออิฐ คนสวน และเหรัญญิกของกองทุนสงเคราะห์ผู้เสียชีวิต เกาส์บรรยายว่าบิดาของเขาเป็นคนซื่อสัตย์และน่านับถือ แต่ก็เป็นคนหยาบกระด้างและชอบบงการที่บ้าน บิดาของเขามีประสบการณ์ในการเขียนและการคำนวณ ในขณะที่โดโรเทอา มารดาของคาร์ล ฟรีดริช แทบจะอ่านไม่ออกเขียนไม่ได้ เขามีพี่ชายหนึ่งคนจากการแต่งงานครั้งแรกของบิดา

เกาส์เป็นเด็กอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ เมื่อครูประถมสังเกตเห็นความสามารถทางสติปัญญาของเขา พวกเขาได้นำความสามารถของเขาไปแจ้งให้คาร์ล วิลเฮล์ม เฟอร์ดินานด์ ดยุกแห่งเบราน์ชไวค์ทราบ ซึ่งได้ส่งเขาไปเรียนที่ Collegium Carolinum ในท้องถิ่น ซึ่งเขาเข้าเรียนตั้งแต่ปี พ.ศ. 2335 ถึง 2338 โดยมีเอเบอร์ฮาร์ด ออกัสต์ วิลเฮล์ม ฟอน ซิมเมอร์มันน์ เป็นหนึ่งในครูของเขา หลังจากนั้น ดยุกได้ให้ทุนสนับสนุนการศึกษาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และภาษาคลาสสิกที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงินจนถึงปี พ.ศ. 2341

ศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ของเขาคืออับราฮัม กอทท์เฮล์ฟ แคสต์เนอร์ ซึ่งเกาส์เรียกว่า "นักคณิตศาสตร์ชั้นนำในหมู่นักกวี และนักกวีชั้นนำในหมู่นักคณิตศาสตร์" เนื่องจากบทกวีเสียดสีของเขา ดาราศาสตร์สอนโดยคาร์ล เฟลิกซ์ ไซฟ์เฟอร์ ซึ่งเกาส์ยังคงติดต่อด้วยหลังจากสำเร็จการศึกษา แต่วิลเฮล์ม ออลเบอร์สและเกาส์มักจะล้อเลียนเขาในจดหมายโต้ตอบ ในทางกลับกัน เขานับถือเกออร์ก คริสตอฟ ลิชเทนแบร์ก ครูสอนฟิสิกส์ของเขา และคริสเตียน กอทท์ล็อบ เฮย์เน ซึ่งเกาส์เข้าร่วมการบรรยายด้านคลาสสิกด้วยความยินดี เพื่อนร่วมชั้นในเวลานั้นคือโยฮัน ฟรีดริช เบนเซนแบร์ก ฟาร์คาส โบยาอี และไฮน์ริช วิลเฮล์ม บรันเดส

เขาน่าจะเป็นนักเรียนที่เรียนรู้ด้วยตนเองในด้านคณิตศาสตร์ เนื่องจากเขาได้ค้นพบทฤษฎีบทหลายประการด้วยตนเอง เขาแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่นักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ เมื่อเขากำหนดในปี พ.ศ. 2339 ว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าใดบ้างที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด การค้นพบนี้ในที่สุดก็ทำให้เกาส์เลือกคณิตศาสตร์แทนภาษาศาสตร์เป็นอาชีพ สมุดบันทึกทางคณิตศาสตร์ของเกาส์ ซึ่งเป็นการรวบรวมข้อสังเกตสั้น ๆ เกี่ยวกับผลลัพธ์ของเขาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2339 ถึง 2357 แสดงให้เห็นว่าแนวคิดหลายอย่างสำหรับผลงานชิ้นเอกทางคณิตศาสตร์ของเขา Disquisitiones Arithmeticae (พ.ศ. 2344) มีมาตั้งแต่เวลานี้

1.2. นักวิชาการอิสระ

เกาส์สำเร็จการศึกษาในระดับปริญญาเอกสาขาปรัชญาในปี พ.ศ. 2342 ไม่ใช่ที่เกิททิงเงินตามที่บางครั้งระบุไว้ แต่เป็นที่มหาวิทยาลัยเฮล์มสเตดท์ ตามคำขอพิเศษของดยุกแห่งเบราน์ชไวค์ ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยของรัฐเพียงแห่งเดียวของดัชชี โยฮัน ฟรีดริช พฟัฟฟ์ เป็นผู้ประเมินวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา และเกาส์ได้รับปริญญา in absentia โดยไม่มีการสอบปากเปล่าเพิ่มเติม ดยุกจึงให้ทุนสนับสนุนค่าครองชีพในฐานะนักวิชาการอิสระในเบราน์ชไวค์ เกาส์ปฏิเสธคำเชิญจากสถาบันวิทยาศาสตร์รัสเซียในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กและมหาวิทยาลัยลุดวิก แม็กซิมิเลียนแห่งมิวนิกในเวลาต่อมา ดยุกยังได้สัญญาว่าจะก่อตั้งหอดูดาวในเบราน์ชไวค์ในปี พ.ศ. 2347 ปีเตอร์ โยเซฟ คราเฮ สถาปนิก ได้จัดทำแบบร่างเบื้องต้น แต่สงครามสัมพันธมิตรครั้งที่สี่ของนโปเลียนทำให้แผนเหล่านั้นต้องยกเลิกไป ดยุกถูกสังหารในยุทธการเยนา-เอาเออร์ชเตดท์ในปี พ.ศ. 2349 ดัชชีถูกยุบในปีถัดมา และการสนับสนุนทางการเงินของเกาส์ก็สิ้นสุดลง

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 เมื่อเกาส์กำลังคำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์น้อย เขาได้ติดต่อกับชุมชนดาราศาสตร์ของเบรเมินและลิเลียนทาล โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิลเฮล์ม ออลเบอร์ส คาร์ล ลุดวิก ฮาร์ดิง และฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซล ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มนักดาราศาสตร์ที่ไม่เป็นทางการที่รู้จักกันในชื่อตำรวจสวรรค์ เป้าหมายหนึ่งของพวกเขาคือการค้นพบดาวเคราะห์เพิ่มเติม พวกเขารวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับดาวเคราะห์น้อยและดาวหางเพื่อเป็นพื้นฐานสำหรับการวิจัยวงโคจรของเกาส์ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์ในผลงานชิ้นเอกทางดาราศาสตร์ของเขาคือ Theoria motus corporum coelestium (พ.ศ. 2352)

1.3. ศาสตราจารย์ที่เกิททิงเงิน

ในเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2350 เกาส์ได้ตอบรับคำเชิญจากมหาวิทยาลัยเกิททิงเงิน ซึ่งในขณะนั้นเป็นสถาบันของราชอาณาจักรเว็สท์ฟาเลินที่ก่อตั้งขึ้นใหม่ภายใต้การปกครองของเฌโรม โบนาปาร์ต ในฐานะศาสตราจารย์เต็มตัวและผู้อำนวยการหอดูดาวเกิททิงเงิน และดำรงตำแหน่งนี้จนกระทั่งเสียชีวิตในปี พ.ศ. 2398 ไม่นานเขาก็ต้องเผชิญกับความต้องการเงิน 2,000 ฟรังก์จากรัฐบาลเว็สท์ฟาเลินในฐานะเงินช่วยเหลือสงคราม ซึ่งเขาไม่สามารถจ่ายได้ ทั้งออลเบอร์สและปีแยร์-ซีมง ลาปลาสต้องการช่วยเหลือเขาในการชำระเงิน แต่เกาส์ปฏิเสธความช่วยเหลือของพวกเขา ในที่สุด บุคคลนิรนามจากแฟรงก์เฟิร์ต ซึ่งภายหลังพบว่าเป็นคาร์ล เทโอดอร์ อันทอน มาเรีย ฟอน ดาลเบิร์ก ผู้เป็นเจ้าชาย-อัครมหาเสนาบดี ได้จ่ายเงินจำนวนดังกล่าว

เกาส์เข้ารับตำแหน่งผู้อำนวยการหอดูดาวที่มีอายุ 60 ปี ซึ่งก่อตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2291 โดยเจ้าชาย-ผู้คัดเลือก จอร์จที่ 2 แห่งบริเตนใหญ่ และสร้างขึ้นบนหอคอยป้อมปราการที่ดัดแปลงแล้ว โดยมีเครื่องมือที่ใช้งานได้แต่บางส่วนล้าสมัย การก่อสร้างหอดูดาวแห่งใหม่ได้รับการอนุมัติจากจอร์จที่ 3 แห่งสหราชอาณาจักร โดยหลักการตั้งแต่ปี พ.ศ. 2345 และรัฐบาลเว็สท์ฟาเลินยังคงวางแผนต่อไป แต่เกาส์ไม่สามารถย้ายไปยังที่ทำงานใหม่ได้จนถึงเดือนกันยายน พ.ศ. 2359 เขาได้รับเครื่องมือใหม่ที่ทันสมัย รวมถึงวงกลมเมริเดียนสองวงจากโยฮัน เกออร์ก เรปโซลด์และเกออร์ก ฟรีดริช ฟอน ไรเชนบาค และเฮลิโอมิเตอร์จากโยเซฟ ฟอน เฟราน์โฮเฟอร์

กิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ของเกาส์ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ สามารถแบ่งออกได้เป็นสามช่วงใหญ่ ๆ คือ ดาราศาสตร์เป็นจุดสนใจหลักในช่วงสองทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 19, การสำรวจรังวัดในช่วงทศวรรษที่สาม และฟิสิกส์ โดยเฉพาะแม่เหล็กในช่วงทศวรรษที่สี่

เกาส์ไม่ปิดบังความไม่ชอบในการบรรยายทางวิชาการ แต่ตั้งแต่เริ่มต้นอาชีพทางวิชาการที่เกิททิงเงิน เขาได้บรรยายอย่างต่อเนื่องจนถึงปี พ.ศ. 2397 เขามักจะบ่นเกี่ยวกับภาระการสอน โดยรู้สึกว่าเป็นการเสียเวลาของเขา ในทางกลับกัน เขาก็บรรยายถึงนักเรียนบางคนว่ามีความสามารถ การบรรยายส่วนใหญ่ของเขาเกี่ยวข้องกับดาราศาสตร์ การสำรวจรังวัด และคณิตศาสตร์ประยุกต์ และมีเพียงสามการบรรยายเท่านั้นที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ นักเรียนบางคนของเกาส์ได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เช่น โมริตซ์ แคนเตอร์ ริชาร์ด เดเดคินด์ เอ็นโน เดิร์กเซน โยฮัน ฟรันซ์ เอ็งเคอ เบนจามิน แอปทอร์ป กูลด์ เอดูอาร์ด ไฮน์ เอิร์นสต์ คลินเคอร์ฟูส อดอล์ฟ เทโอดอร์ คุปเฟอร์ โยฮัน เบเนดิกต์ ลิสติง ออกัสต์ เฟอร์ดินานด์ เมอบิอุส ฟรีดริช เบิร์นฮาร์ด กอทท์ฟรีด นิโคไล แบร์นฮาร์ด รีมันน์ ออกัสต์ ริตเทอร์ เอิร์นสต์ คริสเตียน จูเลียส เชริง ไฮน์ริช เชิร์ก ไฮน์ริช คริสเตียน ชูมาเคอร์ คาร์ล เกออร์ก คริสเตียน ฟอน ชเตาดท์ โมริตซ์ อับราฮัม สเติร์น เกออร์ก เฟรเดริก เออร์ซิน และในฐานะนักธรณีศาสตร์ โวล์ฟกัง ซาร์โทริอุส ฟอน วอลเทอร์สเฮาเซิน และโยฮัน เอดูอาร์ด วัปเปาส์

เกาส์ไม่ได้เขียนตำราเรียนใด ๆ และไม่ชอบการเผยแพร่ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ให้เป็นที่นิยม ความพยายามเดียวของเขาในการเผยแพร่ความรู้คือผลงานของเขาเกี่ยวกับวันอีสเตอร์ (พ.ศ. 2343/2345) และเรียงความ Erdmagnetismus und Magnetometer ในปี พ.ศ. 2379 เกาส์ตีพิมพ์บทความและหนังสือของเขาเฉพาะในภาษาละตินหรือภาษาเยอรมันเท่านั้น เขาเขียนภาษาละตินในรูปแบบคลาสสิก แต่ใช้การปรับเปลี่ยนบางอย่างที่นักคณิตศาสตร์ร่วมสมัยกำหนดไว้

หอดูดาวเกิททิงเงินแห่งใหม่ในปี พ.ศ. 2359; ห้องนั่งเล่นของเกาส์อยู่ในปีกตะวันตก (ขวา)

วิลเฮล์ม เอดูอาร์ด เวเบอร์และไฮน์ริช เอวาลด์ (แถวหน้า) ในฐานะสมาชิกของเกิททิงเงินเซเวน

เกาส์บนเตียงเสียชีวิต (พ.ศ. 2398) (ภาพดาแกร์โรไทป์จากฟิลิปป์ เพตรี)

ในการบรรยายเปิดตัวที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงินในปี พ.ศ. 2351 เกาส์กล่าวว่าการสังเกตที่น่าเชื่อถือและผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณที่แข็งแกร่งเท่านั้นที่เป็นภารกิจเดียวของดาราศาสตร์ ที่มหาวิทยาลัย เขามีเจ้าหน้าที่สอนในสาขาวิชาของเขา ซึ่งเติมเต็มโปรแกรมการศึกษา; ซึ่งรวมถึงนักคณิตศาสตร์ธิโบต์กับการบรรยายของเขา นักฟิสิกส์โยฮัน โทเบียส ไมเออร์ ผู้เป็นที่รู้จักจากตำราเรียนของเขา ผู้สืบทอดตำแหน่งของเขาวิลเฮล์ม เอดูอาร์ด เวเบอร์ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2374 และในหอดูดาวคาร์ล ลุดวิก ฮาร์ดิง ผู้ซึ่งรับผิดชอบส่วนใหญ่ของการบรรยายในดาราศาสตร์ภาคปฏิบัติ เมื่อหอดูดาวสร้างเสร็จ เกาส์ได้ย้ายไปพักอาศัยในปีกตะวันตกของหอดูดาวแห่งใหม่ และฮาร์ดิงในปีกตะวันออก พวกเขาเคยเป็นเพื่อนกัน แต่เมื่อเวลาผ่านไปพวกเขาก็เหินห่างกัน อาจเป็นไปได้ว่า - ตามที่นักชีวประวัติบางคนสันนิษฐาน - เพราะเกาส์ต้องการให้ฮาร์ดิงซึ่งมีตำแหน่งเท่ากันเป็นเพียงผู้ช่วยหรือผู้สังเกตการณ์ของเขา เกาส์ใช้วงกลมเมริเดียนใหม่เกือบทั้งหมด และเก็บไว้ไม่ให้ฮาร์ดิงใช้ ยกเว้นการสังเกตการณ์ร่วมกันที่หายากมาก

มาร์ติน เบรนเดลแบ่งกิจกรรมทางดาราศาสตร์ของเกาส์ตามลำดับเวลาออกเป็นเจ็ดช่วง ซึ่งปีตั้งแต่ พ.ศ. 2363 ถือเป็น "ช่วงกิจกรรมทางดาราศาสตร์ที่ลดลง" หอดูดาวแห่งใหม่ที่ติดตั้งอุปกรณ์อย่างดีไม่ได้ทำงานอย่างมีประสิทธิภาพเท่าที่ควร การวิจัยทางดาราศาสตร์ของเกาส์มีลักษณะเป็นกิจการของคนคนเดียวโดยไม่มีโปรแกรมการสังเกตการณ์ระยะยาว และมหาวิทยาลัยได้จัดตั้งตำแหน่งผู้ช่วยหลังจากฮาร์ดิงเสียชีวิตในปี พ.ศ. 2377 เท่านั้น

อย่างไรก็ตาม เกาส์ปฏิเสธโอกาสที่จะแก้ปัญหาถึงสองครั้ง โดยการตอบรับข้อเสนอจากเบอร์ลินในปี พ.ศ. 2353 และ 2368 เพื่อเป็นสมาชิกเต็มตัวของสถาบันปรัสเซียโดยไม่มีภาระการบรรยาย รวมถึงจากมหาวิทยาลัยไลพ์ซิกในปี พ.ศ. 2353 และจากมหาวิทยาลัยเวียนนาในปี พ.ศ. 2385 อาจเป็นเพราะสถานการณ์ครอบครัวที่ยากลำบาก เงินเดือนของเกาส์เพิ่มขึ้นจาก 1,000 ไรช์ทาเลอร์ในปี พ.ศ. 2353 เป็น 2,400 ไรช์ทาเลอร์ในปี พ.ศ. 2367 และในช่วงบั้นปลายชีวิต เขาก็เป็นหนึ่งในศาสตราจารย์ที่ได้รับค่าตอบแทนสูงสุดของมหาวิทยาลัย

เมื่อเกาส์ถูกขอความช่วยเหลือจากเพื่อนร่วมงานและเพื่อนของเขาฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซลในปี พ.ศ. 2353 ผู้ซึ่งมีปัญหาที่มหาวิทยาลัยเคอนิชส์แบร์กเนื่องจากขาดวุฒิการศึกษา เกาส์ได้มอบปริญญากิตติมศักดิ์ให้เบสเซลจากคณะปรัชญาของเกิททิงเงินในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2354 เกาส์ยังให้คำแนะนำอีกครั้งสำหรับปริญญากิตติมศักดิ์แก่โซฟี แฌร์แม็ง แต่เป็นเพียงช่วงสั้น ๆ ก่อนที่เธอจะเสียชีวิต ดังนั้นเธอจึงไม่ได้รับมัน เขายังให้การสนับสนุนที่ประสบความสำเร็จแก่นักคณิตศาสตร์กอทท์โฮลด์ ไอเซนสไตน์ในเบอร์ลิน

เกาส์ภักดีต่อราชวงศ์ฮันโนเฟอร์ หลังจากสมเด็จพระเจ้าวิลเลียมที่ 4 แห่งสหราชอาณาจักรเสด็จสวรรคตในปี พ.ศ. 2380 สมเด็จพระเจ้าเออร์เนสต์ ออกัสตัสที่ 1 แห่งฮันโนเฟอร์ กษัตริย์แห่งฮันโนเฟอร์พระองค์ใหม่ได้ยกเลิกรัฐธรรมนูญปี พ.ศ. 2376 ศาสตราจารย์เจ็ดคน ซึ่งภายหลังรู้จักกันในชื่อ "เกิททิงเงินเซเวน" ได้ประท้วงเรื่องนี้ ซึ่งรวมถึงเพื่อนและผู้ร่วมงานของเขาวิลเฮล์ม เวเบอร์ และไฮน์ริช เอวาลด์ ลูกเขยของเกาส์ ทั้งหมดถูกไล่ออก และสามคนถูกเนรเทศ แต่เอวาลด์และเวเบอร์ยังคงอยู่ในเกิททิงเงิน เกาส์ได้รับผลกระทบอย่างมากจากการทะเลาะวิวาทนี้ แต่ไม่เห็นความเป็นไปได้ที่จะช่วยเหลือพวกเขา

เกาส์มีส่วนร่วมในการบริหารงานทางวิชาการ: เขาได้รับเลือกเป็นคณบดีคณะปรัชญาสามครั้ง เขาได้รับมอบหมายให้ดูแลกองทุนบำเหน็จบำนาญของมหาวิทยาลัย เขาจึงจัดการกับวิทยาการประกันภัยและเขียนรายงานเกี่ยวกับกลยุทธ์ในการรักษาเสถียรภาพของผลประโยชน์ เขาได้รับแต่งตั้งเป็นผู้อำนวยการราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งเกิททิงเงินเป็นเวลาเก้าปี

เกาส์ยังคงมีสติปัญญาเฉียบแหลมไปจนถึงวัยชรา แม้จะทรมานจากโรคเกาต์และความไม่พอใจทั่วไป เมื่อวันที่ 23 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2398 เขาเสียชีวิตด้วยอาการหัวใจวายในเกิททิงเงิน และถูกฝังที่สุสานอัลบานีที่นั่น ไฮน์ริช เอวาลด์ ลูกเขยของเกาส์ และโวล์ฟกัง ซาร์โทริอุส ฟอน วอลเทอร์สเฮาเซิน เพื่อนสนิทและนักชีวประวัติของเกาส์ ได้กล่าวคำไว้อาลัยในงานศพของเขา

เกาส์เป็นนักลงทุนที่ประสบความสำเร็จและสะสมความมั่งคั่งมหาศาลด้วยหุ้นและหลักทรัพย์ ซึ่งมีมูลค่ารวมกว่า 150,000 ทาเลอร์ หลังจากการเสียชีวิตของเขา พบเงินประมาณ 18,000 ทาเลอร์ซ่อนอยู่ในห้องของเขา

1.4. ชีวิตครอบครัว

วิลเฮลมินา วาลเด็ค ภรรยาคนที่สองของเกาส์

เกาส์แต่งงานกับโยฮันนา ออสต์ฮอฟฟ์ เมื่อวันที่ 9 ตุลาคม พ.ศ. 2348 ที่โบสถ์เซนต์แคทเธอรีนในเบราน์ชไวค์ พวกเขามีบุตรชายสองคนและบุตรสาวหนึ่งคน: โยเซฟ (พ.ศ. 2349-2416), วิลเฮลมินา (พ.ศ. 2351-2383) และหลุยส์ (พ.ศ. 2352-2353) โยฮันนาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 11 ตุลาคม พ.ศ. 2352 หนึ่งเดือนหลังจากการเกิดของหลุยส์ ซึ่งเสียชีวิตในอีกไม่กี่เดือนต่อมา เกาส์เลือกชื่อแรกของบุตรธิดาเพื่อเป็นเกียรติแก่จูเซปเป ปิอัซซี วิลเฮล์ม ออลเบอร์ส และคาร์ล ลุดวิก ฮาร์ดิง ผู้ค้นพบดาวเคราะห์น้อยดวงแรก

เมื่อวันที่ 4 สิงหาคม พ.ศ. 2353 เกาส์แต่งงานกับวิลเฮลมินา (มินนา) วาลเด็ค เพื่อนของภรรยาคนแรกของเขา ซึ่งเขามีบุตรอีกสามคน: ออยเกน (ต่อมาคือ ยูจีน) (พ.ศ. 2354-2439), วิลเฮล์ม (ต่อมาคือ วิลเลียม) (พ.ศ. 2356-2422) และเทเรเซ (พ.ศ. 2359-2407) มินนา เกาส์เสียชีวิตเมื่อวันที่ 12 กันยายน พ.ศ. 2374 หลังจากป่วยหนักมานานกว่าทศวรรษ เทเรเซจึงรับผิดชอบดูแลบ้านและดูแลเกาส์ไปตลอดชีวิต หลังจากการเสียชีวิตของบิดา เธอแต่งงานกับนักแสดงคอนสแตนติน สเตาฟเฟนนาว วิลเฮลมินา น้องสาวของเธอแต่งงานกับนักภาษาศาสตร์ตะวันออกไฮน์ริช เอวาลด์ โดโรเทอา มารดาของเกาส์ อาศัยอยู่ในบ้านของเขาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2360 จนกระทั่งเสียชีวิตในปี พ.ศ. 2382

โยเซฟ บุตรชายคนโต ในขณะที่ยังเป็นนักเรียน ได้ช่วยบิดาในฐานะผู้ช่วยระหว่างการสำรวจรังวัดในช่วงฤดูร้อนปี พ.ศ. 2364 หลังจากเรียนมหาวิทยาลัยได้ไม่นาน โยเซฟได้เข้าร่วมกองทัพฮันโนเฟอร์ในปี พ.ศ. 2367 และช่วยในการสำรวจรังวัดอีกครั้งในปี พ.ศ. 2372 ในช่วงทศวรรษ 2370 เขาเป็นผู้รับผิดชอบในการขยายเครือข่ายการสำรวจรังวัดไปยังส่วนตะวันตกของราชอาณาจักร ด้วยคุณสมบัติทางธรณีวิทยา เขาได้ลาออกจากราชการและเข้าร่วมในการก่อสร้างเครือข่ายรถไฟในฐานะผู้อำนวยการการรถไฟแห่งรัฐฮันโนเฟอร์ ในปี พ.ศ. 2379 เขาได้ศึกษาระบบรถไฟในสหรัฐอเมริกาเป็นเวลาหลายเดือน

ออยเกนออกจากเกิททิงเงินในเดือนกันยายน พ.ศ. 2373 และอพยพไปยังสหรัฐอเมริกา ซึ่งเขาเข้าร่วมกองทัพเป็นเวลาห้าปี หลังจากนั้น เขาทำงานให้กับบริษัทขนสัตว์อเมริกันในแถบมิดเวสต์ ต่อมา เขาย้ายไปรัฐมิสซูรีและกลายเป็นนักธุรกิจที่ประสบความสำเร็จ วิลเฮล์มแต่งงานกับหลานสาวของนักดาราศาสตร์ฟรีดริช เบสเซล หลังจากนั้นเขาย้ายไปรัฐมิสซูรี เริ่มต้นเป็นเกษตรกรและร่ำรวยจากธุรกิจรองเท้าในเซนต์หลุยส์ รัฐมิสซูรีในภายหลัง ยูจีนและวิลเลียมมีลูกหลานจำนวนมากในอเมริกา แต่ลูกหลานของเกาส์ที่เหลืออยู่ในเยอรมนีล้วนสืบเชื้อสายมาจากโยเซฟ เนื่องจากบุตรสาวไม่มีบุตร

1.5. บุคลิกภาพและมุมมอง

1.5.1. นักวิชาการ

นักเรียนวาดภาพศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ของเขา: ภาพล้อเลียนของอับราฮัม กอทท์เฮล์ฟ แคสต์เนอร์ โดยเกาส์ (พ.ศ. 2338)

นักเรียนวาดภาพศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ของเขา: เกาส์ถูกร่างโดยโยฮัน เบเนดิกต์ ลิสติง นักเรียนของเขา พ.ศ. 2373

ในช่วงสองทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 19 เกาส์เป็นนักคณิตศาสตร์คนสำคัญเพียงคนเดียวในเยอรมนี เทียบได้กับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของฝรั่งเศส ผลงาน Disquisitiones Arithmeticae ของเขาเป็นหนังสือคณิตศาสตร์เล่มแรกจากเยอรมนีที่ได้รับการแปลเป็นภาษาฝรั่งเศส

เกาส์ "นำหน้าการพัฒนาใหม่" ด้วยงานวิจัยที่ได้รับการบันทึกไว้ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2342 ความคิดใหม่ ๆ ที่มากมาย และความเข้มงวดในการพิสูจน์ ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้เช่นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ให้ผู้อ่านมีส่วนร่วมในการให้เหตุผลสำหรับแนวคิดใหม่ ๆ รวมถึงความคลาดเคลื่อนบางอย่างจากเส้นทางที่ถูกต้อง เกาส์กลับนำเสนอรูปแบบการอธิบายที่ตรงไปตรงมาและสมบูรณ์แบบ ซึ่งไม่ได้พยายามแสดงให้ผู้อ่านเห็นแนวคิดของผู้เขียน

เกาส์เป็นคนแรกที่ฟื้นฟูความเข้มงวดของการพิสูจน์ที่เราชื่นชมในสมัยโบราณ ซึ่งถูกผลักดันให้อยู่เบื้องหลังโดยความสนใจเฉพาะของยุคก่อนหน้าในการพัฒนา "ใหม่"

แต่สำหรับตัวเขาเอง เขาเผยแพร่อุดมคติที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ดังที่ระบุไว้ในจดหมายถึงฟาร์คาส โบยาอี:
"ไม่ใช่ความรู้ แต่เป็นการกระทำของการเรียนรู้ ไม่ใช่การครอบครอง แต่เป็นการกระทำของการไปถึงจุดนั้น ซึ่งให้ความเพลิดเพลินสูงสุด เมื่อฉันได้ชี้แจงและใช้ประโยชน์จากหัวข้อหนึ่งแล้ว ฉันก็จะหันเหออกจากมัน เพื่อกลับเข้าสู่ความมืดมิดอีกครั้ง"

เอกสารที่ตีพิมพ์หลังการเสียชีวิต สมุดบันทึกทางวิทยาศาสตร์ของเกาส์ และข้อความสั้น ๆ ในตำราเรียนของเขาเอง แสดงให้เห็นว่าเขาทำงานโดยอาศัยการทดลองเป็นส่วนใหญ่ เขาเป็นนักคำนวณที่ขยันขันแข็งและกระตือรือร้นตลอดชีวิต ซึ่งทำการคำนวณด้วยความรวดเร็วเป็นพิเศษ ส่วนใหญ่โดยไม่มีการควบคุมที่แม่นยำ แต่ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการประมาณค่าอย่างเชี่ยวชาญ อย่างไรก็ตาม การคำนวณของเขาไม่ได้ปราศจากข้อผิดพลาดเสมอไป เขาจัดการกับภาระงานมหาศาลโดยใช้เครื่องมือที่มีทักษะ เกาส์ใช้ตารางคณิตศาสตร์จำนวนมาก ตรวจสอบความถูกต้องของตารางเหล่านั้น และสร้างตารางใหม่ในเรื่องต่าง ๆ เพื่อการใช้งานส่วนตัว เขายังพัฒนาเครื่องมือใหม่สำหรับการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ เช่น การกำจัดแบบเกาส์ เป็นคุณสมบัติที่น่าสนใจในรูปแบบการทำงานของเขาที่ว่า เขาทำการคำนวณด้วยความแม่นยำสูงกว่าที่ต้องการมาก และจัดทำตารางที่มีตำแหน่งทศนิยมมากกว่าที่เคยร้องขอเพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ เป็นไปได้มากว่าวิธีนี้ทำให้เขามีข้อมูลจำนวนมาก ซึ่งเขาใช้ในการค้นหาทฤษฎีบทในทฤษฎีจำนวน

ตราประทับของเกาส์พร้อมคติพจน์ Pauca sed Matura — ตราประทับของเกาส์พร้อมคติพจน์ *Pauca sed Matura*

เกาส์ปฏิเสธที่จะตีพิมพ์ผลงานที่เขาไม่ถือว่าสมบูรณ์และพ้นจากการวิพากษ์วิจารณ์ ความสมบูรณ์แบบนี้สอดคล้องกับคติพจน์บนตราประทับส่วนตัวของเขา Pauca sed Matura^{ภาษาละติน} ("น้อยแต่สุกงอม") เพื่อนร่วมงานหลายคนสนับสนุนให้เขาเผยแพร่แนวคิดใหม่ ๆ และบางครั้งก็ตำหนิเขาหากเขาลังเลนานเกินไปในความคิดของพวกเขา เกาส์ปกป้องตัวเอง โดยอ้างว่าการค้นพบแนวคิดเริ่มต้นนั้นง่าย แต่การเตรียมการอธิบายที่นำเสนอได้นั้นเป็นเรื่องที่ต้องใช้ความพยายามสำหรับเขา ไม่ว่าจะด้วยเหตุผลขาดเวลาหรือ "ความสงบของจิตใจ" อย่างไรก็ตาม เขาได้ตีพิมพ์บทความสั้น ๆ จำนวนมากที่มีเนื้อหาเร่งด่วนในวารสารต่าง ๆ แต่ก็ทิ้งมรดกทางวรรณกรรมไว้มากมายเช่นกัน เกาส์เรียกคณิตศาสตร์ว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" และเลขคณิตว่า "ราชินีแห่งคณิตศาสตร์" และเชื่อว่าครั้งหนึ่งเคยสนับสนุนความเชื่อในความจำเป็นของการเข้าใจเอกลักษณ์ของออยเลอร์ในทันที เพื่อเป็นเกณฑ์ในการเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นหนึ่ง

ในบางโอกาส เกาส์อ้างว่าแนวคิดของนักวิชาการคนอื่น ๆ เคยอยู่ในความครอบครองของเขามาก่อน ดังนั้นแนวคิดเรื่องลำดับความสำคัญของเขาในฐานะ "ผู้ค้นพบคนแรก ไม่ใช่ผู้ตีพิมพ์คนแรก" จึงแตกต่างจากนักวิทยาศาสตร์ร่วมสมัย ในทางตรงกันข้ามกับความสมบูรณ์แบบในการนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์ เขาถูกวิพากษ์วิจารณ์ถึงวิธีการอ้างอิงที่ไม่รอบคอบ เขาให้เหตุผลว่าการอ้างอิงที่ถูกต้องนั้นจะต้องสมบูรณ์แบบ โดยอ้างอิงถึงผู้เขียนคนสำคัญก่อนหน้านี้ ซึ่งไม่มีใครควรละเลย แต่การอ้างอิงในลักษณะนี้จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์และใช้เวลามากกว่าที่เขาต้องการจะใช้

1.5.2. บุคคลส่วนตัว

หลังจากเกาส์เสียชีวิตไม่นาน เพื่อนของเขา ซาร์โทริอุส ได้ตีพิมพ์ชีวประวัติเล่มแรก (พ.ศ. 2399) ซึ่งเขียนด้วยสำนวนที่ค่อนข้างกระตือรือร้น ซาร์โทริอุสเห็นว่าเขาเป็นคนสงบและมุ่งมั่นก้าวหน้าด้วยความถ่อมตนแบบเด็ก ๆ แต่ก็มี "อุปนิสัยเหล็ก" ด้วยความเข้มแข็งของจิตใจที่ไม่มีวันสั่นคลอน นอกเหนือจากวงในของเขาแล้ว คนอื่น ๆ มองว่าเขาเป็นคนเก็บตัวและเข้าถึงยาก "เหมือนเทพโอลิมเปียที่ประทับอยู่บนยอดเขาแห่งวิทยาศาสตร์" เพื่อนร่วมสมัยของเขาส่วนใหญ่เห็นพ้องต้องกันว่าเกาส์เป็นคนที่มีอุปนิสัยยากลำบาก เขามักจะปฏิเสธที่จะรับคำชมเชย ผู้เยี่ยมชมของเขาบางครั้งก็รู้สึกรำคาญกับการกระทำที่หงุดหงิดของเขา แต่ไม่นานอารมณ์ของเขาก็เปลี่ยนไป และเขาก็จะกลายเป็นเจ้าบ้านที่น่ารักและเปิดเผย เกาส์เกลียดชังธรรมชาติที่ชอบโต้เถียง ร่วมกับเพื่อนร่วมงานของเขาโยฮัน ฟรีดริช ลุดวิก เฮาส์มันน์ เขาคัดค้านการเรียกยุสตุส ลีบิกมาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงิน "เพราะเขาเกี่ยวข้องกับการโต้เถียงอยู่เสมอ"

บ้านพักของเกาส์ตั้งแต่ พ.ศ. 2351 ถึง 2359 ที่ชั้นหนึ่ง

ชีวิตของเกาส์ถูกบดบังด้วยปัญหาร้ายแรงในครอบครัว เมื่อโยฮันนา ภรรยาคนแรกของเขาเสียชีวิตกะทันหันหลังจากให้กำเนิดบุตรคนที่สามไม่นาน เขาก็แสดงความโศกเศร้าในจดหมายฉบับสุดท้ายถึงภรรยาที่เสียชีวิตของเขาในรูปแบบของบทโศกโบราณ ซึ่งเป็นเอกสารส่วนตัวที่สุดของเกาส์ที่ยังคงอยู่ สถานการณ์เลวร้ายลงเมื่อวัณโรคทำลายสุขภาพของมินนา ภรรยาคนที่สองของเขามานานกว่า 13 ปี ลูกสาวทั้งสองคนของเขาก็ป่วยด้วยโรคเดียวกันในภายหลัง เกาส์เองแสดงความทุกข์ใจเพียงเล็กน้อย: ในจดหมายถึงเบสเซลเมื่อเดือนธันวาคม พ.ศ. 2374 เขาบรรยายตัวเองว่าเป็น "เหยื่อของความทุกข์ทรมานในบ้านที่เลวร้ายที่สุด"

เนื่องจากอาการป่วยของภรรยา บุตรชายคนเล็กทั้งสองคนจึงได้รับการศึกษาเป็นเวลาหลายปีในเซลล์ ซึ่งอยู่ห่างไกลจากเกิททิงเงิน อาชีพทหารของโยเซฟ บุตรชายคนโต สิ้นสุดลงหลังจากกว่าสองทศวรรษด้วยยศร้อยโทที่ได้รับค่าตอบแทนน้อย แม้ว่าเขาจะมีความรู้ด้านการสำรวจรังวัดเป็นอย่างมาก เขายังคงต้องการการสนับสนุนทางการเงินจากบิดาแม้หลังจากแต่งงานแล้ว ออยเกน บุตรชายคนที่สอง มีพรสวรรค์ในการคำนวณและภาษาอย่างมาก แต่มีอุปนิสัยร่าเริงและบางครั้งก็ดื้อรั้น เขาต้องการศึกษาภาษาศาสตร์ ในขณะที่เกาส์ต้องการให้เขาเป็นทนายความ หลังจากก่อหนี้และก่อเรื่องอื้อฉาวในที่สาธารณะ ออยเกนก็ออกจากเกิททิงเงินอย่างกะทันหันภายใต้สถานการณ์ที่น่าตกใจในเดือนกันยายน พ.ศ. 2373 และอพยพผ่านเบรเมินไปยังสหรัฐอเมริกา เขาใช้เงินเล็กน้อยที่นำติดตัวไปเริ่มต้นอย่างสิ้นเปลือง หลังจากนั้นบิดาของเขาก็ปฏิเสธการสนับสนุนทางการเงินเพิ่มเติม วิลเฮล์ม บุตรชายคนเล็กต้องการมีคุณสมบัติสำหรับการบริหารการเกษตร แต่มีปัญหาในการได้รับการศึกษาที่เหมาะสม และในที่สุดก็อพยพเช่นกัน มีเพียงเทเรเซ บุตรสาวคนเล็กของเกาส์เท่านั้นที่อยู่กับเขาในช่วงบั้นปลายชีวิต

การรวบรวมข้อมูลตัวเลขในเรื่องต่าง ๆ ที่มีประโยชน์หรือไม่มีประโยชน์ กลายเป็นนิสัยของเขาในช่วงบั้นปลายชีวิต ตัวอย่างเช่น จำนวนเส้นทางจากบ้านของเขาไปยังสถานที่บางแห่งในเกิททิงเงิน หรือจำนวนวันที่มีชีวิตของบุคคล เขาแสดงความยินดีกับอเล็กซานเดอร์ ฟอน ฮุมโบลท์ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2394 ที่มีอายุเท่ากับไอแซก นิวตันเมื่อเสียชีวิต ซึ่งคำนวณเป็นวัน

คล้ายกับความรู้ภาษาละตินที่ยอดเยี่ยมของเขา เขายังคุ้นเคยกับภาษาสมัยใหม่ด้วย เมื่ออายุ 62 ปี เขาเริ่มเรียนรู้ภาษารัสเซียด้วยตนเอง เป็นไปได้มากว่าเพื่อทำความเข้าใจงานเขียนทางวิทยาศาสตร์จากรัสเซีย รวมถึงงานของนิโคไล โลบาเชฟสกีเกี่ยวกับเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด เกาส์อ่านวรรณกรรมทั้งคลาสสิกและสมัยใหม่ รวมถึงงานภาษาอังกฤษและฝรั่งเศสในภาษาต้นฉบับ ผู้เขียนภาษาอังกฤษคนโปรดของเขาคือวอลเตอร์ สกอตต์ ผู้เขียนภาษาเยอรมันคนโปรดของเขาคือฌอง ปอล เกาส์ชอบร้องเพลงและไปคอนเสิร์ต เขาเป็นผู้อ่านหนังสือพิมพ์ที่ขยันขันแข็ง ในช่วงบั้นปลายชีวิต เขามักจะไปเยี่ยมชมห้องรับรองสื่อวิชาการของมหาวิทยาลัยทุกเที่ยง เกาส์ไม่สนใจปรัชญามากนัก และล้อเลียน "การแบ่งแยกเส้นผมของนักอภิปรัชญา" ซึ่งเขาหมายถึงผู้สนับสนุนโรงเรียน Naturphilosophie ในสมัยนั้น

เกาส์มี "อุปนิสัยชนชั้นสูงและอนุรักษ์นิยมอย่างแท้จริง" โดยไม่ค่อยเคารพสติปัญญาและศีลธรรมของผู้คน ตามคติพจน์ "Mundus vult decipi, ergo decipiatur" เขาไม่ชอบนโปเลียนและระบบของเขา และความรุนแรงและการปฏิวัติทุกรูปแบบทำให้เขาหวาดกลัว ดังนั้นเขาจึงประณามวิธีการของการปฏิวัติ ค.ศ. 1848 แม้ว่าเขาจะเห็นด้วยกับเป้าหมายบางอย่าง เช่น แนวคิดของเยอรมนีที่เป็นหนึ่งเดียว เท่าที่เกี่ยวข้องกับระบบการเมือง เขามีความเห็นต่ำเกี่ยวกับระบบรัฐธรรมนูญ เขาได้วิพากษ์วิจารณ์สมาชิกสภาผู้แทนราษฎรในสมัยของเขาว่าขาดความรู้และมีข้อผิดพลาดทางตรรกะ

นักชีวประวัติของเกาส์บางคนได้คาดเดาเกี่ยวกับความเชื่อทางศาสนาของเขา เขากล่าวในบางครั้งว่า "พระเจ้าทรงคำนวณ" และ "ฉันประสบความสำเร็จ - ไม่ใช่เพราะความพยายามอย่างหนักของฉัน แต่ด้วยพระคุณของพระเจ้า" เกาส์เป็นสมาชิกของคริสตจักรลูเทอแรน เช่นเดียวกับประชากรส่วนใหญ่ในเยอรมนีตอนเหนือ ดูเหมือนว่าเขาจะไม่เชื่อหลักคำสอนทั้งหมดหรือเข้าใจพระคัมภีร์ไบเบิลอย่างแท้จริง ซาร์โทริอุสกล่าวถึงความอดทนทางศาสนาของเกาส์ และประเมินว่า "ความกระหายความจริงที่ไม่รู้จักพอ" และความรู้สึกยุติธรรมของเขาได้รับแรงบันดาลใจจากความเชื่อทางศาสนา

1.6. สมองของเกาส์

หนึ่งวันหลังจากการเสียชีวิตของเกาส์ สมองของเขาถูกนำออก เก็บรักษาไว้ และศึกษาโดยรูดอล์ฟ วากเนอร์ ผู้ซึ่งพบว่ามวลของมันสูงกว่าค่าเฉลี่ยเล็กน้อย คือ 1.49 K g ในปี พ.ศ. 2406 เฮอร์มันน์ วากเนอร์ บุตรชายของวากเนอร์ ผู้เป็นนักภูมิศาสตร์ ได้ประเมินพื้นที่สมองใหญ่ว่ามีขนาด 219.59 K mm² ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา ในปี พ.ศ. 2556 นักประสาทชีววิทยาที่สถาบันมักซ์พลังค์เพื่อเคมีชีวกายภาพในเกิททิงเงิน ได้ค้นพบว่าสมองของเกาส์ถูกสลับกับสมองของคอนราด ไฮน์ริช ฟุกส์ แพทย์ผู้เสียชีวิตในเกิททิงเงินไม่กี่เดือนหลังจากเกาส์ เนื่องจากการติดป้ายผิดพลาด การตรวจสอบเพิ่มเติมไม่พบความผิดปกติที่น่าสังเกตในสมองของบุคคลทั้งสอง ดังนั้น การตรวจสอบทั้งหมดเกี่ยวกับสมองของเกาส์จนถึงปี พ.ศ. 2541 ยกเว้นการตรวจสอบครั้งแรกของรูดอล์ฟและเฮอร์มันน์ วากเนอร์ ล้วนอ้างอิงถึงสมองของฟุกส์

1.7. การเสียชีวิตและมรดก

เกาส์ยังคงมีสติปัญญาเฉียบแหลมไปจนถึงวัยชรา แม้จะทรมานจากโรคเกาต์และความไม่พอใจทั่วไป เมื่อวันที่ 23 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2398 เขาเสียชีวิตด้วยอาการหัวใจวายในเกิททิงเงิน และถูกฝังที่สุสานอัลบานีที่นั่น ไฮน์ริช เอวาลด์ ลูกเขยของเกาส์ และโวล์ฟกัง ซาร์โทริอุส ฟอน วอลเทอร์สเฮาเซิน เพื่อนสนิทและนักชีวประวัติของเกาส์ ได้กล่าวคำไว้อาลัยในงานศพของเขา

เกาส์เป็นนักลงทุนที่ประสบความสำเร็จและสะสมความมั่งคั่งมหาศาลด้วยหุ้นและหลักทรัพย์ ซึ่งมีมูลค่ารวมกว่า 150,000 ทาเลอร์ หลังจากการเสียชีวิตของเขา พบเงินประมาณ 18,000 ทาเลอร์ซ่อนอยู่ในห้องของเขา

2. ผลงานทางวิทยาศาสตร์

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ มีผลงานทางวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นและหลากหลาย ครอบคลุมหลายสาขาวิชา ตั้งแต่คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ไปจนถึงดาราศาสตร์และฟิสิกส์ ผลงานของเขามีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีในศตวรรษที่ 19 และหลังจากนั้น

2.1. คณิตศาสตร์

เกาส์มีผลงานอันยิ่งใหญ่ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ ซึ่งรวมถึงทฤษฎีจำนวน พีชคณิต การวิเคราะห์ การวิเคราะห์เชิงตัวเลข เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด ทอพอโลยีเบื้องต้น และทฤษฎีความคลาดเคลื่อน

2.1.1. ทฤษฎีจำนวน

ในคำนำของหนังสือ Disquisitiones เกาส์ระบุว่าเขาเริ่มทำงานด้านทฤษฎีจำนวนในปี พ.ศ. 2338 โดยการศึกษาผลงานของนักคณิตศาสตร์ก่อนหน้า เช่น แฟร์มา ออยเลอร์ ลากรองช์ และเลอฌ็องดร์ เขาตระหนักว่านักวิชาการเหล่านี้ได้ค้นพบสิ่งต่าง ๆ ที่เขาได้ค้นพบด้วยตนเองไปแล้ว หนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ซึ่งเขียนขึ้นในปี พ.ศ. 2341 และตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2344 ได้รวบรวมทฤษฎีจำนวนให้เป็นสาขาวิชาหนึ่ง และครอบคลุมทั้งทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นและทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ในหนังสือเล่มนี้ เขาได้นำเสนอสัญลักษณ์ขีดสามขีด (≡) สำหรับความสัมพันธ์สมภาค และใช้มันเพื่อนำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์อย่างชัดเจน หนังสือเล่มนี้กล่าวถึงทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบเฉพาะและรากปฐมฐานมอดุโล n ในส่วนหลัก เกาส์นำเสนอการพิสูจน์สองครั้งแรกของกฎการทอนกำลังสอง และพัฒนาทฤษฎีของรูปแบบกำลังสองแบบไบนารีและเทอร์นารี

Disquisitiones ยังรวมถึงกฎการประกอบเกาส์สำหรับรูปแบบกำลังสองแบบไบนารี รวมถึงการนับจำนวนการแสดงผลของจำนวนเต็มในรูปผลรวมของกำลังสองสามจำนวน ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากทฤษฎีบทสามกำลังสองของเลอฌ็องดร์ เขาพิสูจน์กรณีสามเหลี่ยมของทฤษฎีบทจำนวนหลายเหลี่ยมของแฟร์มาสำหรับ n = 3 จากผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์หลายประการเกี่ยวกับกรุปชั้นอุดมคติที่เกาส์ให้ไว้โดยไม่มีการพิสูจน์ในตอนท้ายของส่วนที่ห้า ดูเหมือนว่าเกาส์จะทราบสูตรจำนวนชั้นแล้วในปี พ.ศ. 2344

ในส่วนสุดท้าย เกาส์ให้การพิสูจน์การสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด โดยการลดปัญหานี้ให้เป็นปัญหาทางพีชคณิต เขาแสดงให้เห็นว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างได้หากจำนวนด้านของมันเป็นกำลังของ 2 หรือผลคูณของกำลังของ 2 และจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่แตกต่างกันจำนวนใด ๆ ในส่วนเดียวกัน เขายังให้ผลลัพธ์เกี่ยวกับจำนวนคำตอบของพหุนามกำลังสามบางชนิดที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์จำกัด ซึ่งเท่ากับการนับจุดจำนวนเต็มบนเส้นโค้งเชิงวงรี บทที่แปดที่ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ถูกพบในเอกสารที่เหลืออยู่หลังจากการเสียชีวิตของเขา ซึ่งประกอบด้วยงานที่ทำในช่วงปี พ.ศ. 2340-2342

หนึ่งในผลลัพธ์แรก ๆ ของเกาส์คือข้อคาดการณ์ที่พบโดยการทดลองในปี พ.ศ. 2335 ซึ่งภายหลังเรียกว่าทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ โดยให้การประมาณค่าจำนวนจำนวนเฉพาะโดยใช้ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม

เมื่อออลเบอร์สสนับสนุนให้เกาส์เข้าร่วมการแข่งขันชิงรางวัลจากสถาบันฝรั่งเศสในปี พ.ศ. 2359 เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา (FLT) เขาปฏิเสธเนื่องจากความเห็นต่ำเกี่ยวกับเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม ในผลงานที่เหลืออยู่ของเขา พบเอกสารสั้น ๆ ที่ไม่ระบุวันที่ ซึ่งมีบทพิสูจน์ของ FLT สำหรับกรณี n = 3 และ n = 5 กรณีพิเศษของ n = 3 ได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ แต่เกาส์ได้พัฒนาบทพิสูจน์ที่กระชับยิ่งขึ้นซึ่งใช้จำนวนเต็มไอเซนสไตน์ แม้จะมีความเป็นสากลมากกว่า แต่บทพิสูจน์นี้ก็ง่ายกว่าในกรณีของจำนวนเต็มจริง

เกาส์มีส่วนช่วยในการแก้ข้อคาดการณ์ของเคปเลอร์ในปี พ.ศ. 2374 ด้วยการพิสูจน์ว่าความหนาแน่นการบรรจุที่มากที่สุดของทรงกลมในพื้นที่สามมิติจะเกิดขึ้นเมื่อจุดศูนย์กลางของทรงกลมก่อตัวเป็นระบบผลึกแบบลูกบาศก์แบบหน้ากลาง เมื่อเขาทบทวนหนังสือของลุดวิก ออกัสต์ ซีเบอร์เกี่ยวกับทฤษฎีการลดรูปแบบกำลังสองแบบเทอร์นารีบวก เมื่อสังเกตเห็นข้อบกพร่องบางประการในการพิสูจน์ของซีเบอร์ เขาได้ทำให้ข้อโต้แย้งหลายประการของเขาง่ายขึ้น พิสูจน์ข้อคาดการณ์หลัก และตั้งข้อสังเกตว่าทฤษฎีบทนี้เทียบเท่ากับข้อคาดการณ์ของเคปเลอร์สำหรับการจัดเรียงแบบปกติ

ในบทความสองฉบับเกี่ยวกับส่วนตกค้างกำลังสี่ (พ.ศ. 2371, 2375) เกาส์ได้นำเสนอทฤษฎีริงของจำนวนเต็มเกาส์ $\mathbb{Z}[i]$ และแสดงให้เห็นว่าเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ และได้ขยายแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญบางอย่าง เช่น ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา และบทตั้งของเกาส์ (ทฤษฎีจำนวน) วัตถุประสงค์หลักของการนำเสนอริงนี้คือการกำหนดกฎของส่วนตกค้างกำลังสี่ - ดังที่เกาส์ค้นพบ ริงของจำนวนเต็มเชิงซ้อนเป็นสภาพแวดล้อมที่เป็นธรรมชาติสำหรับกฎการทอนกำลังที่สูงขึ้น

ในบทความฉบับที่สอง เขาได้ระบุกฎทั่วไปของส่วนตกค้างกำลังสี่และพิสูจน์กรณีพิเศษหลายกรณี ในการตีพิมพ์ก่อนหน้านี้ในปี พ.ศ. 2361 ซึ่งมีบทพิสูจน์ครั้งที่ห้าและหกของกฎการทอนกำลังสอง เขาอ้างว่าเทคนิคของบทพิสูจน์เหล่านี้ (ผลรวมเกาส์) สามารถนำไปใช้เพื่อพิสูจน์กฎการทอนกำลังที่สูงขึ้นได้

2.1.2. พีชคณิต

ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาในปี พ.ศ. 2342 เกาส์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ซึ่งระบุว่าพหุนามตัวแปรเดียวที่ไม่ใช่ค่าคงที่ทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนมีรากเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก นักคณิตศาสตร์รวมถึงฌอง เลอ รอง ดาล็องแบร์ ได้สร้างบทพิสูจน์ที่ผิดพลาดก่อนหน้าเขา และวิทยานิพนธ์ของเกาส์มีการวิพากษ์วิจารณ์ผลงานของดาล็องแบร์ หลังจากนั้นเขาได้สร้างบทพิสูจน์อีกสามบท โดยบทสุดท้ายในปี พ.ศ. 2392 ซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเข้มงวด ความพยายามของเขาได้ชี้แจงแนวคิดของจำนวนเชิงซ้อนอย่างมากในระหว่างนั้น

2.1.3. การวิเคราะห์

หนึ่งในการค้นพบแรก ๆ ของเกาส์คือแนวคิดของค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (AGM) ของจำนวนจริงบวกสองจำนวน เขาค้นพบความสัมพันธ์ของมันกับปริพันธ์เชิงวงรีในช่วงปี พ.ศ. 2341-2342 ผ่านการแปลงของแลนเดน และบันทึกในสมุดบันทึกได้บันทึกการค้นพบความเชื่อมโยงของค่าคงที่ของเกาส์กับฟังก์ชันเชิงวงรีเลมนิสเคต ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เกาส์ระบุว่า "จะเปิดสาขาใหม่ของการวิเคราะห์อย่างแน่นอน" เขายังได้บุกเบิกปัญหาที่เป็นทางการมากขึ้นเกี่ยวกับรากฐานของการวิเคราะห์เชิงซ้อน และจากจดหมายถึงเบสเซลในปี พ.ศ. 2354 เป็นที่ชัดเจนว่าเขาทราบ "ทฤษฎีบทมูลฐานของการวิเคราะห์เชิงซ้อน" - ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชี - และเข้าใจแนวคิดของส่วนตกค้างเชิงซ้อนเมื่อทำการปริพันธ์รอบขั้ว (การวิเคราะห์เชิงซ้อน)

ทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยมของออยเลอร์ พร้อมด้วยงานวิจัยอื่น ๆ เกี่ยวกับ AGM และฟังก์ชันเลมนิสเคต นำเขาไปสู่ผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับฟังก์ชันทีตาของจาโคบี ซึ่งนำไปสู่การค้นพบเอกลักษณ์ผลคูณสามของจาโคบีในปี พ.ศ. 2351 ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทของออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ ผลงานของเขาแสดงให้เห็นว่าเขาทราบการแปลงแบบมอดุลาร์อันดับ 3, 5, 7 สำหรับฟังก์ชันเชิงวงรีตั้งแต่ปี พ.ศ. 2351

เศษส่วนทางคณิตศาสตร์หลายชิ้นในเอกสารที่ยังไม่เผยแพร่ของเขาบ่งชี้ว่าเขาทราบส่วนหนึ่งของทฤษฎีรูปแบบมอดุลาร์สมัยใหม่ ในงานของเขาเกี่ยวกับ AGM แบบหลายค่าของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน เขาค้นพบความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างค่าจำนวนอนันต์ของ AGM กับ "ค่าที่ง่ายที่สุด" สองค่า ในงานเขียนที่ยังไม่ตีพิมพ์ เขาได้ตระหนักและร่างแนวคิดหลักของโดเมนมูลฐานสำหรับกลุ่มมอดุลาร์ หนึ่งในภาพร่างของเกาส์ชนิดนี้คือภาพวาดของการปูกระเบื้องของจานหน่วยด้วยสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก "ด้านเท่า" ที่มีมุมทั้งหมดเท่ากับ $\pi/4$

ตัวอย่างของความเข้าใจของเกาส์ในสาขาการวิเคราะห์คือข้อสังเกตที่คลุมเครือว่าหลักการของการแบ่งวงกลมด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดสามารถนำไปใช้กับการแบ่งเส้นโค้งเลมนิสเคตได้ ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้ทฤษฎีบทของอาเบลเกี่ยวกับการแบ่งเลมนิสเคต อีกตัวอย่างหนึ่งคือการตีพิมพ์ของเขา "Summatio quarundam serierum singularium" (พ.ศ. 2354) เกี่ยวกับการกำหนดเครื่องหมายของผลรวมเกาส์กำลังสอง ซึ่งเขาแก้ปัญหาหลักโดยการนำเสนอสัมประสิทธิ์ทวินาม q-อนาล็อกและจัดการพวกมันด้วยเอกลักษณ์ดั้งเดิมหลายอย่างที่ดูเหมือนจะมาจากงานของเขากับทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรี อย่างไรก็ตาม เกาส์ได้นำเสนอข้อโต้แย้งของเขาในรูปแบบที่เป็นทางการซึ่งไม่ได้เปิดเผยที่มาในทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรี และมีเพียงงานในภายหลังของนักคณิตศาสตร์เช่นจาโคบีและแอร์มิตเท่านั้นที่ได้เปิดเผยแก่นแท้ของข้อโต้แย้งของเขา

ใน "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (พ.ศ. 2356) เขาได้ให้การวิเคราะห์อย่างเป็นระบบครั้งแรกของฟังก์ชันไฮเปอร์จีออเมตริกทั่วไป $F(\alpha,\beta,\gamma,x)$ และแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันหลายอย่างที่รู้จักในเวลานั้นเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันไฮเปอร์จีออเมตริก งานนี้เป็นงานแรกที่มีการสอบสวนการลู่เข้า (อนุกรม)ของอนุกรมอนันต์อย่างแม่นยำในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ที่เกิดขึ้นเป็นอัตราส่วนของฟังก์ชันไฮเปอร์จีออเมตริก ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์

ในปี พ.ศ. 2366 เกาส์ได้รับรางวัลจากสมาคมเดนมาร์กด้วยเรียงความเกี่ยวกับการการแปลงเชิงสอดคล้อง ซึ่งมีการพัฒนาหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อน เกาส์ระบุว่าการแปลงที่รักษามุมในระนาบเชิงซ้อนจะต้องเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน และใช้สมการเบลทรามี ซึ่งภายหลังเรียกว่าสมการเบลทรามี เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของพิกัดไอโซเทอร์มอลบนพื้นผิววิเคราะห์ เรียงความนี้สรุปด้วยตัวอย่างของการแปลงเชิงสอดคล้องไปยังทรงกลมและทรงรีของการหมุน

2.1.4. การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

เกาส์มักจะสรุปทฤษฎีบทโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยจากข้อมูลตัวเลขที่เขารวบรวมโดยการทดลอง ดังนั้นการใช้อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการวิจัยของเขา และเขามีส่วนร่วมมากมายในการการวิเคราะห์เชิงตัวเลข เช่น การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของเกาส์ที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2359

ในจดหมายส่วนตัวถึงเกอร์ลิงในปี พ.ศ. 2366 เขาได้อธิบายวิธีแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น 4x4 โดยใช้วิธีเกาส์-ไซเดล - ซึ่งเป็นวิธีการวนซ้ำ "ทางอ้อม" สำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น และแนะนำให้ใช้แทนวิธีการ "การกำจัดโดยตรง" ตามปกติสำหรับระบบที่มีสมการมากกว่าสองสมการ

เกาส์ได้ประดิษฐ์อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณสิ่งที่เรียกว่าการแปลงฟูเรียร์ไม่ต่อเนื่องในปัจจุบัน เมื่อคำนวณวงโคจรของพัลลัสและจูโนในปี พ.ศ. 2348 ซึ่งเป็นเวลา 160 ปีก่อนที่คูลีย์และทูคีย์จะค้นพบอัลกอริทึม FFT ของคูลีย์-ทูคีย์ที่คล้ายกัน เขาพัฒนาอัลกอริทึมนี้เป็นวิธีการการประมาณค่าในช่วงตรีโกณมิติ แต่บทความ Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata ได้รับการตีพิมพ์หลังจากการเสียชีวิตของเขาในปี พ.ศ. 2419 โดยมีโจเซฟ ฟูเรียร์นำเสนอเรื่องนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2350

2.1.5. เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

การสำรวจรังวัดทางธรณีวิทยาของฮันโนเฟอร์กระตุ้นความสนใจของเกาส์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทอพอโลยี ซึ่งเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งและพื้นผิว (ทอพอโลยี) สิ่งนี้นำเขาไปสู่การตีพิมพ์บันทึกความทรงจำในปี พ.ศ. 2371 ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิวสมัยใหม่ เนื่องจากเป็นการออกจากวิธีการดั้งเดิมในการจัดการกับพื้นผิวในฐานะกราฟคาร์ทีเซียนของฟังก์ชันสองตัวแปร และเป็นการเริ่มต้นการสำรวจพื้นผิวจากมุมมอง "ภายใน" ของสิ่งมีชีวิตสองมิติที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่บนพื้นผิวนั้น ผลที่ได้คือทฤษฎีบทที่โดดเด่นของเกาส์ (Theorema Egregium) ซึ่งเป็นคุณสมบัติของแนวคิดของความโค้งเกาส์ โดยไม่เป็นทางการ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าความโค้งของพื้นผิวสามารถกำหนดได้ทั้งหมดโดยการวัดมุมและระยะทางบนพื้นผิว โดยไม่คำนึงถึงการฝังตัวของพื้นผิวในพื้นที่สามมิติหรือสองมิติ

ทฤษฎีบทที่โดดเด่นของเกาส์นำไปสู่การสรุปนามธรรมของพื้นผิวในฐานะหลากหลายที่ขยายออกเป็นสองเท่า มันชี้แจงความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติภายในของหลากหลาย (เมตริกเทนเซอร์) และการรับรู้ทางกายภาพในพื้นที่โดยรอบ ผลที่ตามมาคือความเป็นไปไม่ได้ของการแปลงแบบไอโซเมตริกระหว่างพื้นผิวที่มีความโค้งเกาส์ต่างกัน ซึ่งหมายความว่าในทางปฏิบัติแล้ว ทรงกลมหรือทรงรีไม่สามารถแปลงเป็นระนาบได้โดยไม่มีการบิดเบือน ซึ่งก่อให้เกิดปัญหาพื้นฐานในการออกแบบการฉายแผนที่สำหรับแผนที่ภูมิศาสตร์ ส่วนหนึ่งของเรียงความนี้อุทิศให้กับการศึกษาเชิงลึกของเส้นจีออเดสิก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เกาส์พิสูจน์ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์ในท้องถิ่นเกี่ยวกับสามเหลี่ยมจีออเดสิก และขยายทฤษฎีบทของเลอฌ็องดร์เกี่ยวกับสามเหลี่ยมทรงกลมไปยังสามเหลี่ยมจีออเดสิกบนพื้นผิวใด ๆ ที่มีความโค้งต่อเนื่อง เขาพบว่ามุมของสามเหลี่ยมจีออเดสิก "ที่เล็กพอ" จะเบี่ยงเบนจากสามเหลี่ยมระนาบที่มีด้านเดียวกันในลักษณะที่ขึ้นอยู่กับค่าของความโค้งของพื้นผิวที่จุดยอดของสามเหลี่ยมเท่านั้น โดยไม่คำนึงถึงพฤติกรรมของพื้นผิวภายในสามเหลี่ยม

บันทึกความทรงจำของเกาส์จากปี พ.ศ. 2371 ขาดแนวคิดของความโค้งจีออเดสิก อย่างไรก็ตาม ในต้นฉบับที่ยังไม่ตีพิมพ์ ซึ่งน่าจะเขียนขึ้นในปี พ.ศ. 2365-2368 เขาได้นำเสนอคำว่า "ความโค้งด้านข้าง" (เยอรมัน: "Seitenkrümmung") และพิสูจน์ค่าไม่แปรเปลี่ยน (คณิตศาสตร์)ภายใต้การแปลงแบบไอโซเมตริก ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ภายหลังได้รับโดยเฟอร์ดินานด์ มินดิงและตีพิมพ์โดยเขาในปี พ.ศ. 2373 เอกสารของเกาส์นี้มีแก่นแท้ของบทตั้งของเขาเกี่ยวกับความโค้งทั้งหมด แต่ยังรวมถึงการสรุปทั่วไป ซึ่งพบและพิสูจน์โดยปีแยร์ ออสเซียน บอนเนต์ในปี พ.ศ. 2391 และเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์

2.1.6. เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด

ภาพพิมพ์หินโดยซีกฟรีด เบนดิกเซน (พ.ศ. 2371)

ในสมัยของเกาส์ มีการถกเถียงกันอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับสัจพจน์เส้นขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิด มีความพยายามมากมายที่จะพิสูจน์สัจพจน์นี้ในกรอบของสัจพจน์แบบยุคลิด ในขณะที่นักคณิตศาสตร์บางคนได้ถกเถียงถึงความเป็นไปได้ของระบบเรขาคณิตที่ไม่มีสัจพจน์นี้ เกาส์คิดเกี่ยวกับพื้นฐานของเรขาคณิตมาตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 2330 แต่ในช่วงทศวรรษ 2350 เขาตระหนักว่าเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดที่ไม่มีสัจพจน์เส้นขนานสามารถแก้ปัญหานี้ได้ ในจดหมายถึงฟรันซ์ เทารินุสในปี พ.ศ. 2367 เขาได้นำเสนอโครงร่างที่เข้าใจง่ายของสิ่งที่เขาเรียกว่า "เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด" แต่เขาสั่งห้ามเทารินุสอย่างเด็ดขาดไม่ให้นำไปใช้ประโยชน์ใด ๆ เกาส์ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้แรกที่ค้นพบและศึกษาเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด รวมถึงเป็นผู้บัญญัติศัพท์นี้ด้วย

การตีพิมพ์ครั้งแรกเกี่ยวกับเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เขียนโดยนิโคไล โลบาเชฟสกีในปี พ.ศ. 2372 และยาโนส โบยาอีในปี พ.ศ. 2375 ในปีต่อ ๆ มา เกาส์ได้เขียนแนวคิดของเขาเกี่ยวกับเรื่องนี้แต่ไม่ได้ตีพิมพ์ เพื่อหลีกเลี่ยงการมีอิทธิพลต่อการถกเถียงทางวิทยาศาสตร์ในสมัยนั้น เกาส์ได้ยกย่องแนวคิดของยาโนส โบยาอีในจดหมายถึงบิดาของเขาและเพื่อนสมัยมหาวิทยาลัย ฟาร์คาส โบยาอี โดยอ้างว่าแนวคิดเหล่านี้สอดคล้องกับความคิดของเขาเองเมื่อหลายสิบปีก่อน อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ชัดเจนว่าเขามาก่อนโลบาเชฟสกีและโบยาอีมากน้อยเพียงใด เนื่องจากข้อสังเกตในจดหมายของเขาคลุมเครือและไม่ชัดเจน

ซาร์โทริอุสกล่าวถึงผลงานของเกาส์เกี่ยวกับเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2399 แต่การตีพิมพ์เอกสารที่เหลืออยู่ในเล่มที่ 8 ของผลงานรวม (พ.ศ. 2443) เท่านั้นที่แสดงให้เห็นแนวคิดของเกาส์เกี่ยวกับเรื่องนี้ ในช่วงเวลาที่เรขาคณิตนอกแบบยุคลิดยังคงเป็นหัวข้อถกเถียง

2.1.7. ทอพอโลยีเบื้องต้น

เกาส์ยังเป็นผู้บุกเบิกทอพอโลยีในยุคแรก ๆ หรือ Geometria Situs ตามที่เรียกกันในสมัยของเขา บทพิสูจน์แรกของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตในปี พ.ศ. 2342 มีข้อโต้แย้งทางทอพอโลยีเป็นหลัก ห้าสิบปีต่อมา เขาได้พัฒนาข้อโต้แย้งทางทอพอโลยีเพิ่มเติมในบทพิสูจน์ครั้งที่สี่ของทฤษฎีบทนี้

รูปปั้นครึ่งตัวของเกาส์โดยไฮน์ริช เฮเซมันน์ (พ.ศ. 2398)

การเผชิญหน้ากับแนวคิดทางทอพอโลยีอีกครั้งเกิดขึ้นกับเขาในระหว่างการทำงานทางดาราศาสตร์ในปี พ.ศ. 2347 เมื่อเขากำหนดขอบเขตของพื้นที่บนทรงกลมท้องฟ้าที่ดาวหางและดาวเคราะห์น้อยอาจปรากฏขึ้น ซึ่งเขาเรียกว่า "Zodiacus" เขาค้นพบว่าหากวงโคจรของโลกและดาวหางเชื่อมโยงกัน (ทฤษฎีปม) ด้วยเหตุผลทางทอพอโลยี Zodiacus จะเป็นทรงกลมทั้งหมด ในปี พ.ศ. 2391 ในบริบทของการค้นพบดาวเคราะห์น้อย7 ไอริส เขาได้ตีพิมพ์การอภิปรายเชิงคุณภาพเพิ่มเติมเกี่ยวกับ Zodiacus

ในจดหมายของเกาส์ในช่วงปี พ.ศ. 2363-2373 เขาได้คิดอย่างเข้มข้นในหัวข้อที่มีความใกล้เคียงกับ Geometria Situs และค่อย ๆ ตระหนักถึงความยากลำบากทางความหมายในสาขานี้ เศษส่วนจากช่วงเวลานี้เผยให้เห็นว่าเขาพยายามจัดหมวดหมู่ "รูปภาพเส้นทาง" ซึ่งเป็นเส้นโค้งระนาบปิดที่มีจำนวนจุดตัดกันเองแบบขวางจำกัด ซึ่งอาจเป็นภาพฉายระนาบของทฤษฎีปมด้วย เพื่อทำเช่นนั้น เขาได้คิดค้นแผนผังเชิงสัญลักษณ์ นั่นคือรหัสเกาส์ ซึ่งในแง่หนึ่งได้จับคุณลักษณะเฉพาะของรูปภาพเส้นทาง

ในเศษส่วนจากปี พ.ศ. 2376 เกาส์ได้กำหนดเลขเชื่อมโยงของเส้นโค้งอวกาศสองเส้นด้วยปริพันธ์คู่บางอย่าง และในการทำเช่นนั้น เขาได้ให้สูตรเชิงวิเคราะห์เป็นครั้งแรกของปรากฏการณ์ทางทอพอโลยี ในบันทึกเดียวกัน เขาได้คร่ำครวญถึงความก้าวหน้าที่น้อยมากใน Geometria Situs และตั้งข้อสังเกตว่าปัญหาหลักอย่างหนึ่งของมันคือ "การนับการพันกันของเส้นโค้งปิดหรืออนันต์สองเส้น" สมุดบันทึกของเขาจากช่วงเวลานั้นเผยให้เห็นว่าเขากำลังคิดเกี่ยวกับวัตถุทางทอพอโลยีอื่น ๆ เช่น ทฤษฎีถักเปียและปม (คณิตศาสตร์)

อิทธิพลของเกาส์ในภายหลังต่อสาขาทอพอโลยีที่กำลังเกิดขึ้น ซึ่งเขาให้ความสำคัญอย่างสูง เกิดขึ้นจากการสังเกตการณ์เป็นครั้งคราวและการสื่อสารด้วยวาจาไปยังเมอบิอุสและลิสติง

2.1.8. ทฤษฎีความคลาดเคลื่อน

เกาส์น่าจะใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดในการคำนวณวงโคจรของเซเรสเพื่อลดผลกระทบของความคลาดเคลื่อนในการวัด วิธีนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยอาเดรียน-มารี เลอฌ็องดร์ในปี พ.ศ. 2348 แต่เกาส์อ้างใน Theoria motus (พ.ศ. 2352) ว่าเขาได้ใช้วิธีนี้มาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2337 หรือ 2338 ในประวัติศาสตร์ของสถิติศาสตร์ ความไม่ลงรอยกันนี้เรียกว่า "ข้อพิพาทเรื่องลำดับความสำคัญในการค้นพบวิธีกำลังสองน้อยที่สุด" เกาส์พิสูจน์ว่าวิธีนี้มีความแปรปรวนของการสุ่มตัวอย่างต่ำที่สุดในชั้นของตัวประมาณค่าเชิงเส้นที่ไม่เอนเอียง ภายใต้สมมติฐานของการแจกแจงปกติของความคลาดเคลื่อน (ทฤษฎีบทเกาส์-มาร์คอฟ) ในบทความสองส่วน Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (พ.ศ. 2366)

ในบทความฉบับแรก เขาพิสูจน์อสมการของเกาส์ (อสมการประเภทอสมการเชบีเชฟ) สำหรับการแจกแจงแบบมีฐานนิยมเดียว และระบุโดยไม่มีการพิสูจน์อสมการอื่นสำหรับโมเมนต์ (คณิตศาสตร์)อันดับที่สี่ (กรณีพิเศษของอสมการเกาส์-วิงค์เลอร์) เขาได้มาจากขีดจำกัดล่างและบนสำหรับความแปรปรวนของความแปรปรวนของตัวอย่าง ในบทความฉบับที่สอง เกาส์อธิบายวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบเวียนบังเกิด ผลงานของเขาในทฤษฎีความคลาดเคลื่อนได้รับการขยายในหลายทิศทางโดยนักสำรวจรังวัดฟรีดริช โรเบิร์ต เฮล์เมิร์ต ไปยังแบบจำลองเกาส์-เฮล์เมิร์ต

เกาส์ยังมีส่วนร่วมในปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีความคลาดเคลื่อน ตัวอย่างหนึ่งปรากฏในบันทึกประจำวันซึ่งเขาพยายามอธิบายการแจกแจงเชิงเส้นกำกับของรายการในการขยายเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนสุ่มที่แจกแจงอย่างสม่ำเสมอใน (0,1) เขาได้มาซึ่งการแจกแจงนี้ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการแจกแจงเกาส์-คูซมิน ซึ่งเป็นผลพลอยได้จากการค้นพบภาวะเออร์กอดิกของแผนที่เกาส์สำหรับเศษส่วนต่อเนื่อง วิธีแก้ปัญหาของเกาส์เป็นผลลัพธ์แรกในทฤษฎีเมตริกของเศษส่วนต่อเนื่อง

2.2. ดาราศาสตร์

เมื่อวันที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2344 นักดาราศาสตร์ชาวอิตาลีจูเซปเป ปิอัซซีได้ค้นพบวัตถุบนท้องฟ้าดวงใหม่ ซึ่งคาดว่าเป็นดาวเคราะห์ที่ค้นหามานานระหว่างดาวอังคารและดาวพฤหัสบดีตามกฎของทิเชียส-โบเด และตั้งชื่อว่าเซเรส เขาติดตามมันได้เพียงช่วงเวลาสั้น ๆ จนกระทั่งมันหายไปหลังแสงจ้าของดวงอาทิตย์ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในเวลานั้นไม่เพียงพอที่จะคาดการณ์ตำแหน่งจากการข้อมูลเพียงเล็กน้อยสำหรับการปรากฏตัวอีกครั้ง เกาส์ได้แก้ไขปัญหานี้และคาดการณ์ตำแหน่งสำหรับการค้นพบอีกครั้งในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2344 ซึ่งปรากฏว่าแม่นยำภายในครึ่งองศาเมื่อฟรันซ์ ซาเวอร์ ฟอน ซาค ในวันที่ 7 และ 31 ธันวาคมที่หอดูดาวโกทา และไฮน์ริช วิลเฮล์ม มัทเทอุส ออลเบอร์ส อย่างอิสระ ในวันที่ 1 และ 2 มกราคมในเบรเมิน ได้ระบุวัตถุใกล้ตำแหน่งที่คาดการณ์ไว้

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ พ.ศ. 2346 โดยโยฮัน คริสเตียน ออกัสต์ ชวาร์ทซ์

วิธีการของเกาส์นำไปสู่สมการกำลังแปด ซึ่งหนึ่งในคำตอบคือวงโคจรของโลก คำตอบที่ต้องการจะถูกแยกออกจากหกคำตอบที่เหลือโดยอาศัยเงื่อนไขทางฟิสิกส์ ในงานนี้ เกาส์ใช้วิธีการประมาณค่าที่ครอบคลุมซึ่งเขาสร้างขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์นั้น

การค้นพบเซเรสทำให้เกาส์พัฒนาทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์น้อยที่ถูกรบกวนโดยดาวเคราะห์ขนาดใหญ่ ซึ่งตีพิมพ์ในที่สุดในปี พ.ศ. 2352 ในชื่อ Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum ซึ่งได้นำเสนอค่าคงที่แรงโน้มถ่วงของเกาส์

เนื่องจากมีการค้นพบดาวเคราะห์น้อยดวงใหม่ เกาส์จึงสนใจการรบกวน (ดาราศาสตร์)ขององค์ประกอบวงโคจรของพวกมัน ในตอนแรกเขาตรวจสอบเซเรสด้วยวิธีการวิเคราะห์คล้ายกับของลาปลาส แต่เป้าหมายที่เขาชื่นชอบคือพัลลัส เนื่องจากความเยื้องศูนย์กลาง (ดาราศาสตร์)และความเอียงของวงโคจรที่มาก ซึ่งวิธีการของลาปลาสไม่สามารถใช้ได้ เกาส์ใช้เครื่องมือของเขาเอง: ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต ฟังก์ชันไฮเปอร์จีออเมตริก และวิธีการประมาณค่าในช่วงของเขา เขาพบการสั่นพ้องของวงโคจรกับดาวพฤหัสบดีในอัตราส่วน 18:7 ในปี พ.ศ. 2355 เกาส์ให้ผลลัพธ์นี้เป็นรหัสลับ และให้ความหมายที่ชัดเจนเฉพาะในจดหมายถึงออลเบอร์สและเบสเซล หลังจากทำงานมาหลายปี เขาก็ทำสำเร็จในปี พ.ศ. 2359 โดยไม่มีผลลัพธ์ที่เขาคิดว่าเพียงพอ สิ่งนี้เป็นจุดสิ้นสุดของกิจกรรมของเขาในดาราศาสตร์เชิงทฤษฎี

หอดูดาวเกิททิงเงินมองจากทิศตะวันตกเฉียงเหนือ (โดยฟรีดริช เบเซมันน์ ประมาณ พ.ศ. 2378)

ผลจากการวิจัยของเกาส์เกี่ยวกับการรบกวนของพัลลัสคือ Determinatio Attractionis... (พ.ศ. 2361) ซึ่งเป็นวิธีการทางดาราศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ภายหลังรู้จักกันในชื่อ "วิธีการวงแหวนวงรี" ซึ่งนำเสนอแนวคิดการเฉลี่ยที่ดาวเคราะห์ในวงโคจรถูกแทนที่ด้วยวงแหวนสมมติที่มีความหนาแน่นของมวลเป็นสัดส่วนกับเวลาที่ดาวเคราะห์ใช้ในการเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งของวงโคจรที่เกี่ยวข้อง เกาส์นำเสนอวิธีการประเมินแรงโน้มถ่วงของวงแหวนวงรีดังกล่าว ซึ่งรวมถึงหลายขั้นตอน หนึ่งในนั้นคือการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (AGM) โดยตรงเพื่อคำนวณปริพันธ์เชิงวงรี

ในขณะที่ผลงานของเกาส์ในดาราศาสตร์เชิงทฤษฎีสิ้นสุดลง กิจกรรมภาคปฏิบัติในดาราศาสตร์สังเกตการณ์ยังคงดำเนินต่อไปและครอบครองเขาตลอดอาชีพการงานของเขา แม้ในช่วงต้นปี พ.ศ. 2342 เกาส์ก็สนใจการกำหนดลองจิจูดโดยใช้พารัลแลกซ์จันทรคติ ซึ่งเขาได้พัฒนาสูตรที่สะดวกกว่าที่ใช้กันทั่วไป หลังจากได้รับการแต่งตั้งเป็นผู้อำนวยการหอดูดาว เขาให้ความสำคัญกับค่าคงที่ทางดาราศาสตร์พื้นฐานในการติดต่อกับเบสเซล เกาส์เองได้จัดทำตารางสำหรับการการส่ายของแกนโลกและความคลาดเคลื่อนของแสง, พิกัดสุริยะ และการหักเหของแสง เขาได้มีส่วนร่วมมากมายในเรขาคณิตทรงกลม และในบริบทนี้ได้แก้ปัญหาภาคปฏิบัติบางอย่างเกี่ยวกับการการนำทางโดยใช้ดาว เขาได้ตีพิมพ์การสังเกตการณ์จำนวนมาก ส่วนใหญ่เป็นดาวเคราะห์น้อยและดาวหาง การสังเกตการณ์ครั้งสุดท้ายของเขาคือสุริยุปราคาเมื่อวันที่ 28 กรกฎาคม พ.ศ. 2394

2.3. ฟิสิกส์

เกาส์มีผลงานในสาขาต่างๆ ของฟิสิกส์ ซึ่งรวมถึงสนามแม่เหล็กโลกและโทรเลข ทฤษฎีศักย์ ทัศนศาสตร์ กลศาสตร์ และมาตรวิทยา

2.3.1. สนามแม่เหล็กโลกและโทรเลข

อนุสาวรีย์เกาส์-เวเบอร์ในเกิททิงเงิน โดยเฟอร์ดินานด์ ฮาร์ทเซอร์ (พ.ศ. 2442)

เกาส์สนใจแม่เหล็กมาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2346 หลังจากอเล็กซานเดอร์ ฟอน ฮุมโบลท์มาเยือนเกิททิงเงินในปี พ.ศ. 2369 นักวิทยาศาสตร์ทั้งสองก็เริ่มการวิจัยอย่างเข้มข้นเกี่ยวกับธรณีแม่เหล็ก บางส่วนเป็นอิสระต่อกัน บางส่วนเป็นความร่วมมือที่มีประสิทธิผล ในปี พ.ศ. 2371 เกาส์เป็นแขกของฮุมโบลท์ในระหว่างการประชุมของสมาคมนักวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและแพทย์ชาวเยอรมันในเบอร์ลิน ซึ่งเขาได้รู้จักกับนักฟิสิกส์วิลเฮล์ม เอดูอาร์ด เวเบอร์

เมื่อเวเบอร์ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์ในเกิททิงเงินในฐานะผู้สืบทอดตำแหน่งของโยฮัน โทเบียส ไมเออร์ ตามคำแนะนำของเกาส์ในปี พ.ศ. 2374 ทั้งสองก็เริ่มความร่วมมือที่ประสบผลสำเร็จ นำไปสู่ความรู้ใหม่เกี่ยวกับแม่เหล็กด้วยการแสดงหน่วยของแม่เหล็กในรูปของมวล ประจุ และเวลา พวกเขาก่อตั้ง Magnetic Association (เยอรมัน: Magnetischer Verein) ซึ่งเป็นกลุ่มทำงานระหว่างประเทศของหอดูดาวหลายแห่ง ซึ่งสนับสนุนการวัดสนามแม่เหล็กโลกในหลายภูมิภาคของโลกด้วยวิธีการที่เท่าเทียมกันในวันที่กำหนดในช่วงปี พ.ศ. 2379 ถึง 2384

ในปี พ.ศ. 2379 ฮุมโบลท์เสนอให้จัดตั้งเครือข่ายสถานีธรณีแม่เหล็กทั่วโลกในอาณานิคมของอังกฤษ โดยมีจดหมายถึงเจ้าชายออกัสตัส เฟรเดริก ดยุกแห่งซัสเซกซ์ ซึ่งในขณะนั้นเป็นประธานของราชสมาคม เขาเสนอว่าการวัดแม่เหล็กควรดำเนินการภายใต้เงื่อนไขที่เป็นมาตรฐานโดยใช้วิธีการของเขา ร่วมกับผู้ริเริ่มคนอื่น ๆ สิ่งนี้นำไปสู่โปรแกรมระดับโลกที่รู้จักกันในชื่อ "สงครามแม่เหล็ก" ภายใต้การนำของเอ็ดเวิร์ด ซาบีน วันที่ เวลา และช่วงเวลาของการสังเกตการณ์ถูกกำหนดล่วงหน้า โดยใช้ เวลาเฉลี่ยเกิททิงเงิน เป็นมาตรฐาน มีสถานี 61 แห่งในห้าทวีปเข้าร่วมในโปรแกรมระดับโลกนี้ เกาส์และเวเบอร์ได้ก่อตั้งชุดสิ่งพิมพ์สำหรับผลการวิจัย โดยมีหกเล่มที่ได้รับการแก้ไขระหว่างปี พ.ศ. 2380 ถึง 2386 การจากไปของเวเบอร์ไปยังมหาวิทยาลัยไลพ์ซิกในปี พ.ศ. 2386 ซึ่งเป็นผลกระทบภายหลังของเหตุการณ์เกิททิงเงินเซเวน เป็นจุดสิ้นสุดของกิจกรรมของสมาคมแม่เหล็ก

ตามตัวอย่างของฮุมโบลท์ เกาส์สั่งให้สร้างหอดูดาวแม่เหล็กในสวนของหอดูดาว แต่นักวิทยาศาสตร์มีความเห็นต่างกันเกี่ยวกับอุปกรณ์ เกาส์ชอบเครื่องมือแบบอยู่กับที่ ซึ่งเขาคิดว่าจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่า ในขณะที่ฮุมโบลท์คุ้นเคยกับเครื่องมือแบบเคลื่อนที่ เกาส์สนใจการเปลี่ยนแปลงของความเอียงแม่เหล็ก มุมเอียงแม่เหล็ก และความเข้มสนามแม่เหล็กตามเวลาและพื้นที่ แต่แยกแนวคิดของฮุมโบลท์เกี่ยวกับความเข้มสนามแม่เหล็กออกเป็นคำว่าความเข้ม "แนวนอน" และ "แนวตั้ง" ร่วมกับเวเบอร์ เขาได้พัฒนาวิธีการวัดส่วนประกอบของความเข้มของสนามแม่เหล็กและสร้างแมกนีโตมิเตอร์ที่เหมาะสมเพื่อวัด ค่าสัมบูรณ์ ของความแรงของสนามแม่เหล็กโลก ไม่ใช่ค่าสัมพัทธ์ที่ขึ้นอยู่กับอุปกรณ์ ด้วยงานนี้ เกาส์เป็นคนแรกที่ได้มาจากปริมาณที่ไม่ใช่กลไกโดยปริมาณกลไกพื้นฐาน ความแม่นยำของแมกนีโตมิเตอร์สูงกว่าเครื่องมือก่อนหน้านี้ประมาณสิบเท่า

เกาส์ได้จัดทำ ทฤษฎีทั่วไปของแม่เหล็กโลก (พ.ศ. 2382) ซึ่งเขาเชื่อว่าเป็นการอธิบายธรรมชาติของแรงแม่เหล็ก ตามที่เฟลิกซ์ ไคลน์กล่าวไว้ งานนี้เป็นการนำเสนอการสังเกตการณ์โดยใช้ฮาร์มอนิกทรงกลมมากกว่าทฤษฎีทางฟิสิกส์ ทฤษฎีนี้ทำนายการมีอยู่ของขั้วแม่เหล็กสองขั้วบนโลกอย่างแม่นยำ ดังนั้นแนวคิดของคริสโตเฟอร์ ฮันสทีนเกี่ยวกับขั้วแม่เหล็กสี่ขั้วจึงล้าสมัย และข้อมูลช่วยให้สามารถกำหนดตำแหน่งของพวกมันได้อย่างแม่นยำพอสมควร

เกาส์มีอิทธิพลต่อการเริ่มต้นของธรณีฟิสิกส์ในรัสเซีย เมื่ออดอล์ฟ เทโอดอร์ คุปเฟอร์ หนึ่งในอดีตนักเรียนของเขา ได้ก่อตั้งหอดูดาวแม่เหล็กในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ตามตัวอย่างของหอดูดาวในเกิททิงเงิน และในทำนองเดียวกัน อิวาน ซิโมนอฟในคาซาน

2.3.2. แม่เหล็กไฟฟ้า

แผนผังเมืองเกิททิงเงินพร้อมเส้นทางเชื่อมต่อโทรเลข

การค้นพบของฮันส์ คริสเตียน เออร์สเตดเกี่ยวกับแม่เหล็กไฟฟ้าและไมเคิล ฟาราเดย์เกี่ยวกับการการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้าดึงดูดความสนใจของเกาส์มาที่เรื่องเหล่านี้ เกาส์และเวเบอร์พบกฎสำหรับวงจรไฟฟ้าแบบแตกแขนง ซึ่งภายหลังพบโดยอิสระและตีพิมพ์ครั้งแรกโดยกุสตาฟ เคียร์ชฮอฟฟ์ และตั้งชื่อตามเขาว่ากฎของเคียร์ชฮอฟฟ์ และทำการสอบถามเกี่ยวกับแม่เหล็กไฟฟ้า พวกเขาสร้างโทรเลขไฟฟ้าเครื่องแรกในปี พ.ศ. 2376 และเวเบอร์เองได้เชื่อมต่อหอดูดาวกับสถาบันฟิสิกส์ในใจกลางเมืองเกิททิงเงิน แต่พวกเขาไม่ได้สนใจการพัฒนาสิ่งประดิษฐ์นี้เพิ่มเติมเพื่อวัตถุประสงค์ทางการค้า

ความสนใจทางทฤษฎีหลักของเกาส์ในแม่เหล็กไฟฟ้าสะท้อนให้เห็นในความพยายามของเขาในการกำหนดกฎเชิงปริมาณที่ควบคุมการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า ในสมุดบันทึกจากปีเหล่านี้ เขาบันทึกสูตรที่เป็นนวัตกรรมหลายอย่าง เขาค้นพบแนวคิดของฟังก์ชันศักย์เวกเตอร์ (ซึ่งฟรันซ์ เอิร์นสต์ นอยมันน์ค้นพบใหม่โดยอิสระในปี พ.ศ. 2388) และในเดือนมกราคม พ.ศ. 2378 เขาได้เขียน "กฎการเหนี่ยวนำ" ที่เทียบเท่ากับกฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ ซึ่งระบุว่าแรงเคลื่อนไฟฟ้าที่จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที (เทียบกับเวลา) ของฟังก์ชันนี้

เกาส์พยายามค้นหากฎที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับผลกระทบระยะไกลของไฟฟ้าสถิต พลศาสตร์ไฟฟ้า แม่เหล็กไฟฟ้า และการเหนี่ยวนำไฟฟ้า ซึ่งเทียบได้กับกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน แต่ความพยายามของเขาจบลงด้วย "ความล้มเหลวอันน่าเศร้า"

2.3.3. ทฤษฎีศักย์

เนื่องจากไอแซก นิวตันได้แสดงให้เห็นในเชิงทฤษฎีว่าโลกและดาวฤกษ์ที่หมุนรอบตัวเองมีรูปร่างที่ไม่ใช่ทรงกลม ปัญหาการดึงดูดของทรงรีจึงมีความสำคัญมากขึ้นในดาราศาสตร์คณิตศาสตร์ ในผลงานตีพิมพ์ครั้งแรกของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีศักย์ "Theoria attractionis..." (พ.ศ. 2356) เกาส์ได้ให้นิพจน์แบบปิดสำหรับแรงดึงดูดของทรงรีสามแกนที่เป็นเนื้อเดียวกัน ณ ทุกจุดในอวกาศ ตรงกันข้ามกับงานวิจัยก่อนหน้านี้ของคอลิน แมคลาวริน ลาปลาส และลากรองจ์ วิธีแก้ปัญหาใหม่ของเกาส์ได้จัดการกับการดึงดูดโดยตรงในรูปของปริพันธ์เชิงวงรี ในกระบวนการนี้ เขายังได้พิสูจน์และประยุกต์ใช้กรณีพิเศษบางอย่างของสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทเกาส์ในการวิเคราะห์เวกเตอร์

ใน ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับแรงดึงดูดและแรงผลักที่กระทำในสัดส่วนผกผันของกำลังสองของระยะทาง (พ.ศ. 2383) เกาส์ได้ให้พื้นฐานของทฤษฎีศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก โดยอิงจากลากรองจ์ ลาปลาส และปัวซง ดูเหมือนไม่น่าเป็นไปได้ที่เขาจะรู้จักผลงานก่อนหน้านี้ของจอร์จ กรีน (นักคณิตศาสตร์)เกี่ยวกับเรื่องนี้ อย่างไรก็ตาม เกาส์ไม่สามารถให้เหตุผลใด ๆ สำหรับแม่เหล็ก หรือทฤษฎีแม่เหล็กที่คล้ายกับผลงานของนิวตันเกี่ยวกับแรงโน้มถ่วง ซึ่งช่วยให้นักวิทยาศาสตร์สามารถทำนายผลกระทบทางธรณีแม่เหล็กในอนาคตได้

2.3.4. ทัศนศาสตร์

การคำนวณของเกาส์ช่วยให้โยฮัน เกออร์ก เรปโซลด์ ผู้ผลิตเครื่องมือในฮัมบวร์ค สามารถสร้างระบบเลนส์ไร้สีใหม่ในปี พ.ศ. 2353 ปัญหาหลักหนึ่งในบรรดาความยากลำบากอื่น ๆ คือความรู้ที่ไม่แม่นยำเกี่ยวกับดัชนีหักเหและการกระจายแสง (ทัศนศาสตร์)ของชนิดแก้วที่ใช้ ในบทความสั้น ๆ จากปี พ.ศ. 2360 เกาส์ได้กล่าวถึงปัญหาการกำจัดความคลาดเคลื่อนสีในเลนส์คู่ และคำนวณการปรับรูปร่างและสัมประสิทธิ์การหักเหที่จำเป็นเพื่อลดความคลาดเคลื่อน ผลงานของเขาได้รับการบันทึกโดยคาร์ล ออกัสต์ ฟอน สไตน์ไฮล์ ผู้ซึ่งในปี พ.ศ. 2403 ได้นำเสนอเลนส์ไร้สีของสไตน์ไฮล์ ซึ่งส่วนหนึ่งอิงจากการคำนวณของเกาส์ ผลลัพธ์หลายอย่างในทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตกระจัดกระจายอยู่ในจดหมายโต้ตอบและบันทึกย่อของเกาส์เท่านั้น

ใน การสอบสวนทางทัศนศาสตร์ (พ.ศ. 2383) เกาส์ได้ให้การวิเคราะห์อย่างเป็นระบบครั้งแรกเกี่ยวกับการสร้างภาพภายใต้การประมาณค่าแบบพารากเซียล (ทัศนศาสตร์เกาส์) เขาได้กำหนดคุณลักษณะของระบบทัศนศาสตร์ภายใต้การประมาณค่าแบบพารากเซียลโดยใช้จุดหลัก (ทัศนศาสตร์)เท่านั้น และเขาได้มาจากสูตรเลนส์เกาส์ ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้โดยไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับความหนาของเลนส์

2.3.5. กลศาสตร์

งานแรกของเกาส์ในกลศาสตร์เกี่ยวข้องกับการการหมุนของโลก เมื่อโยฮัน เบนเซนแบร์ก เพื่อนสมัยมหาวิทยาลัยของเขาทำการทดลองเพื่อกำหนดการเบี่ยงเบนของมวลที่ตกลงมาจากแนวดิ่งในปี พ.ศ. 2345 ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อผลกระทบของแรงโคริออลิส เขาได้ขอให้เกาส์ทำการคำนวณค่าตามทฤษฎีเพื่อเปรียบเทียบกับค่าจากการทดลอง เกาส์ได้จัดทำระบบสมการพื้นฐานสำหรับการเคลื่อนที่ และผลลัพธ์ก็สอดคล้องกับข้อมูลของเบนเซนแบร์กอย่างเพียงพอ ซึ่งได้เพิ่มข้อพิจารณาของเกาส์เป็นภาคผนวกในหนังสือของเขาเกี่ยวกับการทดลองการตก

หลังจากเลอง ฟูโกแสดงให้เห็นการหมุนของโลกด้วยลูกตุ้มฟูโกของเขาต่อสาธารณะในปี พ.ศ. 2394 เกอร์ลิงได้สอบถามเกาส์เพื่อขอคำอธิบายเพิ่มเติม สิ่งนี้กระตุ้นให้เกาส์ออกแบบอุปกรณ์ใหม่สำหรับการสาธิตด้วยความยาวลูกตุ้มที่สั้นกว่าของฟูโกมาก การสั่นสะเทือนถูกสังเกตด้วยกล้องโทรทรรศน์แบบอ่านค่า โดยมีมาตราส่วนแนวตั้งและกระจกที่ยึดติดกับลูกตุ้ม มีการอธิบายไว้ในจดหมายโต้ตอบของเกาส์-เกอร์ลิง และเวเบอร์ได้ทำการทดลองบางอย่างกับอุปกรณ์นี้ในปี พ.ศ. 2396 แต่ไม่มีข้อมูลใด ๆ ตีพิมพ์

หลักการข้อจำกัดน้อยที่สุดของเกาส์ในปี พ.ศ. 2372 ได้รับการจัดตั้งขึ้นเป็นแนวคิดทั่วไปเพื่อเอาชนะการแบ่งกลศาสตร์ออกเป็นสถิตศาสตร์และพลศาสตร์ โดยการรวมหลักการของดาแลมแบร์เข้ากับหลักการงานเสมือนของโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ และแสดงให้เห็นความคล้ายคลึงกับวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

2.3.6. มาตรวิทยา

ในปี พ.ศ. 2371 เกาส์ได้รับแต่งตั้งให้เป็นหัวหน้าคณะกรรมการน้ำหนักและมาตรวัดของราชอาณาจักรฮันโนเฟอร์ เขามีส่วนร่วมในการสร้างมาตรฐาน (มาตรวิทยา)ของความยาวและมาตรวัด เกาส์เองได้ดูแลการวัดที่ใช้เวลานานและให้คำสั่งโดยละเอียดสำหรับการเตรียมการทางกล ในจดหมายโต้ตอบกับชูมาเคอร์ ซึ่งกำลังทำงานในเรื่องนี้เช่นกัน เขาได้อธิบายแนวคิดใหม่ ๆ สำหรับมาตราส่วนที่มีความแม่นยำสูง เขาได้ส่งรายงานฉบับสุดท้ายเกี่ยวกับฟุต (หน่วย)และปอนด์ (มวล)ของฮันโนเฟอร์ไปยังรัฐบาลในปี พ.ศ. 2384 งานนี้มีความสำคัญมากกว่าระดับภูมิภาคตามคำสั่งของกฎหมายปี พ.ศ. 2379 ที่เชื่อมโยงมาตรวัดของฮันโนเฟอร์กับของอังกฤษ

3. เกียรติยศ สิ่งสืบทอด และงานที่เกี่ยวข้อง

การเป็นสมาชิกสมาคมวิทยาศาสตร์ครั้งแรกได้รับแก่เกาส์ในปี พ.ศ. 2345 โดยสถาบันวิทยาศาสตร์รัสเซีย การเป็นสมาชิกเพิ่มเติม (ผู้สื่อข่าว, ต่างประเทศ หรือเต็มตัว) ได้รับจากสถาบันวิทยาศาสตร์และมนุษยศาสตร์เกิททิงเงิน (พ.ศ. 2345/2350) สถาบันวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศส (พ.ศ. 2347/2363) ราชสมาคมแห่งลอนดอน (พ.ศ. 2347) ราชบัณฑิตยสถานปรัสเซียในเบอร์ลิน (พ.ศ. 2353) สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติในเวโรนา (พ.ศ. 2353) ราชสมาคมแห่งเอดินบะระ (พ.ศ. 2363) สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งบาวาเรียในมิวนิก (พ.ศ. 2363) ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์และอักษรศาสตร์แห่งเดนมาร์กในโคเปนเฮเกน (พ.ศ. 2364) ราชสมาคมดาราศาสตร์ในลอนดอน (พ.ศ. 2364) ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งสวีเดน (พ.ศ. 2364) สถาบันศิลปะและวิทยาศาสตร์อเมริกันในบอสตัน (พ.ศ. 2365) ราชสมาคมวิทยาศาสตร์โบฮีเมียในปราก (พ.ศ. 2376) ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์ อักษรศาสตร์ และวิจิตรศิลป์แห่งเบลเยียม (พ.ศ. 2384/2388) ราชสมาคมวิทยาศาสตร์ในอุปซอลา (พ.ศ. 2386) ราชบัณฑิตยสถานไอริชในดับลิน (พ.ศ. 2386) ราชสถาบันแห่งเนเธอร์แลนด์ (พ.ศ. 2388/2394) ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งสเปนในมาดริด (พ.ศ. 2393) สมาคมภูมิศาสตร์รัสเซีย (พ.ศ. 2394) สถาบันวิทยาศาสตร์จักรวรรดิในเวียนนา (พ.ศ. 2391) สมาคมปรัชญาอเมริกัน (พ.ศ. 2396) สมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ และราชสมาคมวิทยาศาสตร์ฮอลแลนด์ในฮาร์เลม

ทั้งมหาวิทยาลัยคาซานและคณะปรัชญาของมหาวิทยาลัยชาร์ลส์ในปรากได้แต่งตั้งให้เขาเป็นสมาชิกกิตติมศักดิ์ในปี พ.ศ. 2391

เกาส์ได้รับรางวัลลาลองด์จากสถาบันวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศสในปี พ.ศ. 2352 สำหรับทฤษฎีดาวเคราะห์และวิธีการกำหนดวงโคจรจากเพียงสามการสังเกตการณ์ รางวัลจากสถาบันวิทยาศาสตร์เดนมาร์กในปี พ.ศ. 2366 สำหรับบันทึกความทรงจำเกี่ยวกับการฉายภาพแบบสอดคล้อง และเหรียญคอปลีย์จากราชสมาคมในปี พ.ศ. 2381 สำหรับ "สิ่งประดิษฐ์และการวิจัยทางคณิตศาสตร์ในด้านแม่เหล็กของเขา"

เกาส์ได้รับแต่งตั้งเป็นอัศวินแห่งเครื่องอิสริยาภรณ์เลฌียงดอเนอร์ของฝรั่งเศสในปี พ.ศ. 2380 และได้รับการแต่งตั้งเป็นหนึ่งในสมาชิกคนแรกของเครื่องอิสริยาภรณ์พัวร์เลอเมริตของปรัสเซีย (ชั้นพลเรือน) เมื่อก่อตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2385 เขาได้รับเครื่องอิสริยาภรณ์มงกุฎเว็สท์ฟาเลิน (พ.ศ. 2353) เครื่องอิสริยาภรณ์ดานเนบอร์กของเดนมาร์ก (พ.ศ. 2360) เครื่องอิสริยาภรณ์กูเอลฟิกแห่งราชวงศ์ฮันโนเฟอร์ (พ.ศ. 2358) เครื่องอิสริยาภรณ์ดาวขั้วโลกของสวีเดน (พ.ศ. 2387) เครื่องอิสริยาภรณ์เฮนรีเดอะไลออน (พ.ศ. 2392) และเครื่องอิสริยาภรณ์แม็กซิมิเลียนแห่งบาวาเรียสำหรับวิทยาศาสตร์และศิลปะ (พ.ศ. 2396)

กษัตริย์แห่งฮันโนเฟอร์ได้แต่งตั้งให้เขาได้รับพระราชทานบรรดาศักดิ์กิตติมศักดิ์ "Hofrath" (พ.ศ. 2359) และ "Geheimer Hofrath" (พ.ศ. 2388) ในปี พ.ศ. 2492 เนื่องในโอกาสครบรอบปริญญาเอกทองคำของเขา เขาได้รับพลเมืองกิตติมศักดิ์ของทั้งสองเมืองเบราน์ชไวค์และเกิททิงเงิน ไม่นานหลังจากที่เขาเสียชีวิต มีการออกเหรียญตามคำสั่งของสมเด็จพระเจ้าจอร์จที่ 5 แห่งฮันโนเฟอร์ โดยมีคำจารึกด้านหลังอุทิศให้ "เจ้าชายแห่งนักคณิตศาสตร์"

"Gauss-Gesellschaft Göttingen" ("สมาคมเกาส์แห่งเกิททิงเงิน") ก่อตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2507 เพื่อการวิจัยเกี่ยวกับชีวิตและผลงานของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และบุคคลที่เกี่ยวข้อง และจัดพิมพ์ Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft (วารสารของสมาคมเกาส์)

มีสิ่งต่าง ๆ จำนวนมากที่ตั้งชื่อตามหรือได้รับอิทธิพลจากคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เพื่อเป็นเกียรติแก่ผลงานอันยิ่งใหญ่และอิทธิพลที่เขามีต่อวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

การแจกแจงปกติ หรือที่เรียกว่าการแจกแจงเกาส์ ซึ่งเป็นเส้นโค้งรูประฆังที่พบบ่อยที่สุดในสถิติศาสตร์
รางวัลคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งเป็นหนึ่งในรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดในคณิตศาสตร์
เกาส์ (หน่วย) หน่วยระบบซีจีเอสสำหรับสนามแม่เหล็ก
ค่าคงที่แรงโน้มถ่วงของเกาส์
กาอุสเซีย (ดาวเคราะห์น้อย) ดาวเคราะห์น้อยหมายเลข 1001
ฟังก์ชันเกาส์
ปริพันธ์เกาส์
สัญกรณ์เกาส์
ความโค้งเกาส์
การฉายแผนที่เกาส์-ครูเกอร์
ตารางเกาส์
วิธีเกาส์-ไซเดล
การแปลงเกาส์
จำนวนเต็มเกาส์
ระบบหน่วยเกาส์
การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของเกาส์
ทัศนศาสตร์เกาส์
การกำจัดแบบเกาส์
อนุกรมไฮเปอร์จีออเมตริกของเกาส์
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของเกาส์
สมการเชิงอนุพันธ์ของเกาส์
กฎของเกาส์
การประมาณค่าในช่วงของเกาส์
การแจกแจงปกติ
ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์
ระนาบเกาส์
การเชื่อมต่อเกาส์-มานิน
อัลกอริทึมเกาส์-เลอฌ็องดร์
ผลรวมเกาส์

ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2532 ถึง 2544 รูปเหมือนของเกาส์ เส้นโค้งการแจกแจงปกติ และอาคารที่มีชื่อเสียงบางแห่งของเกิททิงเงินถูกพิมพ์อยู่บนธนบัตร 10 มาร์คเยอรมัน ด้านหลังของธนบัตรมีภาพเซกซ์แทนต์ที่เกาส์ชื่นชอบ พร้อมกับแผนที่ราชอาณาจักรฮันโนเฟอร์ เยอรมนียังได้ออกแสตมป์ไปรษณียากรสามดวงเพื่อเป็นเกียรติแก่เกาส์ แสตมป์ดวงหนึ่ง (หมายเลข 725) ออกในปี พ.ศ. 2498 ในโอกาสครบรอบหนึ่งร้อยปีการเสียชีวิตของเขา ส่วนอีกสองดวง หมายเลข 1246 และ 1811 ออกในปี พ.ศ. 2520 เพื่อรำลึกถึงวันเกิดครบรอบ 200 ปีของเขา

นวนิยายเรื่อง Die Vermessung der Welt ปี พ.ศ. 2548 ของแดเนียล เคห์ลมันน์ ซึ่งได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษว่า Measuring the World (พ.ศ. 2549) ได้สำรวจชีวิตและผลงานของเกาส์ผ่านมุมมองของนวนิยายอิงประวัติศาสตร์ โดยเปรียบเทียบกับนักสำรวจชาวเยอรมันอเล็กซานเดอร์ ฟอน ฮุมโบลท์ ภาพยนตร์เวอร์ชันหนึ่งกำกับโดยเดตเลฟ บัค ได้ออกฉายในปี พ.ศ. 2555

ในปี พ.ศ. 2550 รูปปั้นครึ่งตัวของเกาส์ได้รับการติดตั้งในวิหารวัลฮัลลา

ในปี พ.ศ. 2472 มาเรียน เรเยฟสกี นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ ผู้ซึ่งช่วยถอดรหัสเครื่องอินิกมาในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2475 ได้เริ่มศึกษาสถิติประกันภัยที่เกิททิงเงิน ตามคำขอของศาสตราจารย์มหาวิทยาลัยปอซนัน ซดซิสลาฟ ครีโกฟสกี เมื่อมาถึงเกิททิงเงิน เรเยฟสกีได้วางดอกไม้บนหลุมศพของเกาส์

เมื่อวันที่ 30 เมษายน พ.ศ. 2561 กูเกิลได้ยกย่องเกาส์ในวันเกิดครบรอบ 241 ปีของเขาด้วยกูเกิล ดูเดิลที่แสดงในยุโรป รัสเซีย อิสราเอล ญี่ปุ่น ไต้หวัน บางส่วนของอเมริกาใต้และอเมริกากลาง และสหรัฐอเมริกา

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ผู้ซึ่งนำเสนอลอการิทึมเกาส์ บางครั้งถูกเข้าใจผิดกับฟรีดริช กุสตาฟ เกาส์ (พ.ศ. 2372-2458) นักธรณีวิทยาชาวเยอรมัน ผู้ซึ่งได้ตีพิมพ์ตารางลอการิทึมที่มีชื่อเสียงบางส่วนซึ่งใช้ในช่วงต้นทศวรรษ 2520

4. งานเขียนที่คัดสรร

เกาส์เป็นนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ที่มีผลงานตีพิมพ์มากมายในหลากหลายสาขาวิชา ทั้งคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ผลงานเหล่านี้ได้วางรากฐานสำคัญให้กับความรู้ทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่

4.1. คณิตศาสตร์และดาราศาสตร์

รูปปั้นเกาส์ในเบราน์ชไวค์ (พ.ศ. 2423) สร้างโดยเฮอร์มันน์ ไฮน์ริช เฮาวัลท์ ออกแบบโดยฟริตซ์ ชาเปอร์

พ.ศ. 2342: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกเกี่ยวกับทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต, มหาวิทยาลัยเฮล์มสเตดท์)
พ.ศ. 2359: Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse
พ.ศ. 2359: Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia
พ.ศ. 2393: Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (การบรรยายจาก พ.ศ. 2392)
- Die vier Gauss'schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten und zweiten Grades. (1799-1849) (ภาษาเยอรมัน)
พ.ศ. 2343: Berechnung des Osterfestes (การคำนวณวันอีสเตอร์)
พ.ศ. 2344: Disquisitiones Arithmeticae
- Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory (แปลจากฉบับภาษาเยอรมันฉบับที่สอง, เกิททิงเงิน พ.ศ. 2403)
พ.ศ. 2345: Berechnung des jüdischen Osterfestes (การคำนวณวันอีสเตอร์ของชาวยิว)
พ.ศ. 2347: Über die Grenzen der geocentrischen Oerter der Planeten (เกี่ยวกับขีดจำกัดของตำแหน่งดาวเคราะห์แบบศูนย์กลางโลก) (เกี่ยวกับ Zodiacus)
พ.ศ. 2351: Theorematis arithmetici demonstratio nova (นำเสนอบทตั้งของเกาส์ (ทฤษฎีจำนวน) ใช้ในการพิสูจน์ครั้งที่สามของกฎการทอนกำลังสอง)
พ.ศ. 2351: Methodus peculiaris elevationem poli determinandi
พ.ศ. 2352: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium
- Theory of the Motion of Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections
พ.ศ. 2354: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809 (จาก พ.ศ. 2353) (วงโคจรของ2 พัลลัส)
พ.ศ. 2354: Summatio quarundam serierum singularium (จาก พ.ศ. 2351) (การกำหนดเครื่องหมายของผลรวมเกาส์กำลังสอง ใช้สิ่งนี้ในการให้บทพิสูจน์ครั้งที่สี่ของกฎการทอนกำลังสอง)
พ.ศ. 2356: Disquisitiones generales circa seriem infinitam $1+\frac{\alpha\beta}{\gamma.1}+\mbox{etc.}$ (จาก พ.ศ. 2355, มีเศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์)
พ.ศ. 2359: Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (จาก พ.ศ. 2357)
พ.ศ. 2361: Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae (จาก พ.ศ. 2360) (บทพิสูจน์ครั้งที่ห้าและหกของกฎการทอนกำลังสอง)
พ.ศ. 2361: Determinatio attractionis, quam in punctum positionis datae exerceret planeta, si eius massa per totamorbitam, ratione temporis, quo singulae partes describuntur, uniformiter esset dispertita (อ้างอิงถึงงาน - ส่วนใหญ่ยังไม่ตีพิมพ์ - เกี่ยวกับอัลกอริทึมของค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต)
พ.ศ. 2366: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior (จาก พ.ศ. 2364)
พ.ศ. 2366: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior
พ.ศ. 2368: Allgemeine Auflösung der Aufgabe die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird (เรียงความที่ได้รับรางวัลจาก พ.ศ. 2365 เกี่ยวกับการการแปลงเชิงสอดคล้อง)
พ.ศ. 2371: Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector (การกำหนดความแตกต่างของละติจูดระหว่างหอดูดาวเกิททิงเงินและอัลโทนาโดยการสังเกตด้วย Ramsden's Zenith sector)
พ.ศ. 2371: Supplementum theoriae combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (จาก พ.ศ. 2369)
- Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One, Part Two, Supplement (Classics in Applied Mathematics) (สามเรียงความเกี่ยวกับการคำนวณความน่าจะเป็นเป็นพื้นฐานของกฎการแพร่กระจายความคลาดเคลื่อนของเกาส์)
พ.ศ. 2371: Disquisitiones generales circa superficies curvas (จาก พ.ศ. 2370)
- General Investigations of Curved Surfaces
พ.ศ. 2371: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima (จาก พ.ศ. 2368)
พ.ศ. 2375: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda (จาก พ.ศ. 2374) (นำเสนอจำนวนเต็มเกาส์ ระบุ (โดยไม่มีการพิสูจน์) กฎของส่วนตกค้างกำลังสี่ พิสูจน์กฎเสริมสำหรับ 1 + i)
พ.ศ. 2388: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung (จาก พ.ศ. 2386)
พ.ศ. 2390: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung (จาก พ. 2389)
พ.ศ. 2391: Schreiben des Herrn Geheimen Hofrathes Gauss an den Herausgeber (จดหมายของท่านที่ปรึกษาลับของราชสำนักเกาส์ถึงบรรณาธิการ) (จาก พ.ศ. 2390, เกี่ยวกับ Zodiacus)
พ.ศ. 2446: Wissenschaftliches Tagebuch (สมุดบันทึกทางวิทยาศาสตร์)
- A commentary on Gauss's mathematical diary, 1796-1814

4.2. ฟิสิกส์

พ.ศ. 2347: Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der Erde (ในหนังสือต้นฉบับ: Versuche über das Gesetz des Falls, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde)
พ.ศ. 2356: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (มีทฤษฎีบทเกาส์ของการวิเคราะห์เวกเตอร์)
พ.ศ. 2360: Ueber die achromatischen Doppelobjective besonders in Rücksicht der vollkommnern Aufhebung der Farbenzerstreuung (เกี่ยวกับเลนส์คู่ไร้สี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับการกำจัดสีที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น)
พ.ศ. 2372: Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (เกี่ยวกับกฎพื้นฐานทั่วไปใหม่ของกลศาสตร์)
พ.ศ. 2373: Principia generalia theoriae fluidorum in statu aequilibrii (จาก พ.ศ. 2372)
พ.ศ. 2384: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (จาก พ.ศ. 2375)
- The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement. แปลโดยซูซาน พี. จอห์นสัน
พ.ศ. 2379: Erdmagnetismus und Magnetometer (หนังสือต้นฉบับ: Jahrbuch für 1836)
พ.ศ. 2383: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte (หนังสือต้นฉบับ: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte)
พ.ศ. 2386: Dioptrische Untersuchungen (การสอบสวนทางทัศนศาสตร์) (จาก พ.ศ. 2383)

4.2.1. ร่วมกับวิลเฮล์ม เวเบอร์

พ.ศ. 2380-2382: Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1836-1838
พ.ศ. 2383-2386: Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839-1841
พ.ศ. 2383: Atlas des Erdmagnetismus nach den Elementen der Theorie entworfen. Supplement zu den Resultaten aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins

4.2.2. ผลงานรวม

Carl Friedrich Gauss. Werke (พ.ศ. 2406-2476) (รวมถึงเอกสารที่ยังไม่ตีพิมพ์)

4.3. จดหมายโต้ตอบ

จดหมายโต้ตอบของเกาส์มีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจพัฒนาการทางความคิดและอาชีพของเขา เนื่องจากเขาเป็นคนที่ไม่ชอบตีพิมพ์ผลงานที่ไม่สมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์แบบ จดหมายเหล่านี้จึงเป็นแหล่งข้อมูลสำคัญที่เผยให้เห็นแนวคิด การค้นพบ และความท้าทายที่เขาเผชิญในชีวิตส่วนตัวและอาชีพ

Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel (จดหมายจากเดือนธันวาคม พ.ศ. 2347 ถึงสิงหาคม พ.ศ. 2387)
Unbekannte Briefe von C. F. Gauß und Fr. W. Bessel (จดหมายถึงปาล์ม ไฮน์ริช ลุดวิก ฟอน โบกุสลาฟสกี จากเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2378 ถึงมกราคม พ.ศ. 2391)
Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß และ โยฮัน เอเลิร์ต โบเด (จดหมายจากเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2345 ถึงตุลาคม พ.ศ. 2369)
Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss และ Wolfgang Bolyai (จดหมายจากเดือนกันยายน พ.ศ. 2340 ถึงกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2396; เพิ่มจดหมายจากผู้สื่อข่าวคนอื่น ๆ)
Obgleich und indeßen. Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss และ โยฮัน ฟรันซ์ เอ็งเคอ (จดหมายจากเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2353 ถึงมิถุนายน พ.ศ. 2397)
Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss และ Christian Ludwig Gerling (จดหมายจากเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2353 ถึงมิถุนายน พ.ศ. 2397)
Briefe zwischen A. v. Humboldt และ Gauss (จดหมายจากเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2350 ถึงธันวาคม พ.ศ. 2397; เพิ่มจดหมายจากผู้สื่อข่าวคนอื่น ๆ)
คาร์ล ไครล์ und der Erdmagnetismus. Seine Korrespondenz mit Carl Friedrich Gauß im historischen Kontext (จดหมายจาก พ.ศ. 2378 ถึง 2386)
Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß และ คาร์ล ลุดวิก ฟอน เลอคอก (จดหมายจากเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2342 ถึงกันยายน พ.ศ. 2343)
The Correspondence between Carl Friedrich Gauss and the Rev. Nevil Maskelyne (1802-05)
Discovery of the Missing Correspondence between Carl Friedrich Gauss and the Rev. Nevil Maskelyne (1802-05)
Briefwechsel zwischen Olbers และ Gauss: Erste Abtheilung (จดหมายจากเดือนมกราคม พ.ศ. 2345 ถึงตุลาคม พ.ศ. 2362)
Briefwechsel zwischen Olbers และ Gauss: Zweite Abtheilung (จดหมายจากเดือนมกราคม พ.ศ. 2363 ถึงพฤษภาคม พ.ศ. 2382; เพิ่มจดหมายจากผู้สื่อข่าวคนอื่น ๆ)
Briefwechsel zwischen C. F. Gauss และ ไฮน์ริช คริสเตียน ชูมาเคอร์
- เล่ม 1+2 (จดหมายจากเดือนเมษายน พ.ศ. 2351 ถึงมีนาคม พ.ศ. 2379)
- เล่ม 3+4 (จดหมายจากเดือนมีนาคม พ.ศ. 2379 ถึงเมษายน พ.ศ. 2388)
- เล่ม 5+6 (จดหมายจากเดือนเมษายน พ.ศ. 2388 ถึงพฤศจิกายน พ.ศ. 2393)
Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß และ เอเบอร์ฮาร์ด ออกัสต์ วิลเฮล์ม ซิมเมอร์มันน์ (จดหมายจาก พ.ศ. 2338 ถึง 2358)

ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์และมนุษยศาสตร์เกิททิงเงินได้รวบรวมจดหมายที่ทราบทั้งหมดจากและถึงคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งสามารถเข้าถึงได้ทางออนไลน์ มรดกทางวรรณกรรมได้รับการเก็บรักษาและจัดหาโดยห้องสมุดรัฐและมหาวิทยาลัยเกิททิงเงิน วัสดุที่เขียนโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์และสมาชิกในครอบครัวยังสามารถพบได้ในหอจดหมายเหตุเทศบาลของเบราน์ชไวค์