อารยภัฏ

1.1. ชื่อ

ชื่อของเขาที่ถูกต้องคือ อารยภัฏ (Āryabhaṭa) แม้ว่ามักจะมีการสะกดผิดเป็น "อารยภัฏฏ" (Aryabhatta) โดยเปรียบเทียบกับชื่ออื่นที่มีคำว่า "ภัฏฏะ" (bhatta) ต่อท้าย ซึ่งคำว่า "ภัฏฏะ" ในภาษาสันสกฤตหมายถึง "ผู้มีการศึกษา" หรือ "นักวิชาการ" ในขณะที่ "ภัฏ" หมายถึง "ทหารรับจ้าง" หรือ "ผู้ที่ถูกจ้างด้วยเงิน" อย่างไรก็ตาม ข้อความทางดาราศาสตร์ทุกฉบับ รวมถึงการอ้างอิงถึงเขาของพรหมคุปต์ที่ปรากฏในงานเขียนของเขามากกว่าร้อยแห่ง ล้วนสะกดชื่อของเขาว่า "อารยภัฏ" นอกจากนี้ การสะกดว่า "อารยภัฏฏ" มักจะไม่เข้ากับมาตราคณะฉันท์ของบทกวีในภาษาสันสกฤต

เพื่อแยกความแตกต่างจากนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเดียวกันในศตวรรษที่ 10 บางครั้งเขาจึงถูกเรียกว่า อารยภัฏที่ 1 เขายังถูกเรียกว่า อาศมกิยะ (āśmakīya) ซึ่งหมายถึง "ผู้ที่มาจากแคว้นอาศมกะ" ตามที่ภาสกรที่ 1 ลูกศิษย์ของเขาได้กล่าวถึง

1.2. ช่วงเวลาและสถานที่เกิด

อารยภัฏได้ระบุไว้ในงานเขียน อารยภฏีย์ ว่าเขาเขียนงานชิ้นนี้เมื่อเขาอายุ 23 ปี ในปีที่ 3,600 ของกลียุค ซึ่งตรงกับปีคริสต์ศักราช 499 ดังนั้นจึงอนุมานได้ว่าเขาเกิดในปี พ.ศ. 1019 (ค.ศ. 476)

อารยภัฏเรียกตัวเองว่าเป็นชาวพื้นเมืองของกุสุมาปุระ หรือปาฏลีบุตร ซึ่งปัจจุบันคือเมืองปัฏนะ รัฐพิหาร อย่างไรก็ตาม มีสมมติฐานอื่น ๆ เกี่ยวกับสถานที่เกิดของเขา ภาสกรที่ 1 ได้บรรยายถึงอารยภัฏว่าเป็นชาวอาศมกิยะ (āśmakīya) ซึ่งหมายถึงผู้ที่มาจากแคว้นอาศมกะ (Aśmaka) ในช่วงเวลาของพระพุทธเจ้า กลุ่มชนอาศมกะได้ตั้งถิ่นฐานอยู่ในพื้นที่ระหว่างแม่น้ำนารมาดาและแม่น้ำโคธาวารีในตอนกลางของอินเดีย

มีการกล่าวอ้างว่า "อาศมกะ" ซึ่งเป็นคำสันสกฤตที่แปลว่า "หิน" อาจหมายถึงเมืองโกตุงคัลลูร์ในปัจจุบัน ซึ่งเคยเป็นเมืองหลวงทางประวัติศาสตร์ของฐิรุวันจิกกุลัมในรัฐเกรละโบราณ สมมติฐานนี้ตั้งอยู่บนความเชื่อที่ว่าโกตุงคัลลูร์เคยเป็นที่รู้จักในชื่อโกตุง-กัล-ลูร์ (Koṭum-Kal-l-ūr) ซึ่งแปลว่า "เมืองแห่งหินแข็ง" อย่างไรก็ตาม บันทึกเก่าแก่แสดงให้เห็นว่าเมืองนี้แท้จริงแล้วคือโกตุง-โกล-ลูร์ (Koṭum-kol-ūr) ซึ่งแปลว่า "เมืองแห่งการปกครองที่เข้มงวด" ในทำนองเดียวกัน ข้อเท็จจริงที่ว่ามีอรรถกถาหลายฉบับเกี่ยวกับ อารยภฏีย์ มาจากรัฐเกรละถูกนำมาใช้เพื่อเสนอว่าที่นั่นเป็นสถานที่หลักในการใช้ชีวิตและทำกิจกรรมของอารยภัฏ อย่างไรก็ตาม มีอรรถกถาจำนวนมากที่มาจากนอกรัฐเกรละ และงานเขียน อารยสิทธานตะ ไม่เป็นที่รู้จักเลยในรัฐเกรละ นักวิชาการ เค. จันทรา ฮาริ ได้โต้แย้งเพื่อสนับสนุนสมมติฐานรัฐเกรละโดยอ้างอิงจากหลักฐานทางดาราศาสตร์

อารยภัฏได้กล่าวถึง "ลังกา" หลายครั้งในงานเขียน อารยภฏีย์ แต่ "ลังกา" ของเขาเป็นแนวคิดเชิงนามธรรม ซึ่งหมายถึงจุดบนเส้นศูนย์สูตรที่มีลองจิจูดเดียวกับเมืองอุชเชนีของเขา

1.3. การศึกษาและภูมิหลังทางวิชาการ

เป็นที่แน่นอนว่าในช่วงเวลาหนึ่ง อารยภัฏได้เดินทางไปยังกุสุมาปุระเพื่อศึกษาต่อในระดับสูงและอาศัยอยู่ที่นั่นเป็นระยะเวลาหนึ่ง ทั้งประเพณีศาสนาฮินดูและศาสนาพุทธ รวมถึงภาสกรที่ 1 (ราว ค.ศ. 629) ได้ระบุว่ากุสุมาปุระคือปาฏลีบุตร ซึ่งเป็นเมืองปัฏนะในปัจจุบัน

บทกวีบทหนึ่งกล่าวถึงอารยภัฏว่าเป็นหัวหน้าสถาบัน (กุลปะ) ที่กุสุมาปุระ และเนื่องจากมหาวิทยาลัยนาลันทาตั้งอยู่ในปาฏลีบุตรในเวลานั้น จึงมีการสันนิษฐานว่าอารยภัฏอาจเป็นหัวหน้ามหาวิทยาลัยนาลันทาด้วยเช่นกัน มหาวิทยาลัยนาลันทาเป็นหนึ่งในสถาบันการศึกษาที่เก่าแก่ที่สุดของอินเดียและมีมาตรฐานทางปัญญาที่สูงมากในยุคนั้น อารยภัฏยังได้รับการยกย่องว่าได้จัดตั้งหอดูดาวที่วัดพระอาทิตย์ในเมืองตาเรกานา รัฐพิหาร

1.4. บริบททางประวัติศาสตร์

อารยภัฏมีชีวิตและทำงานในช่วงราชวงศ์คุปตะ ซึ่งเป็นยุคที่วิทยาศาสตร์และวัฒนธรรมของอินเดียเจริญรุ่งเรืองอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงประมาณปี ค.ศ. 500 ซึ่งเป็นช่วงที่อารยภัฏมีบทบาทสำคัญ ราชวงศ์คุปตะได้รับอิทธิพลจากการติดต่อกับโลกตะวันตก ทำให้เกิดการฟื้นฟูวิทยาการดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ในยุคพระเวท

ศูนย์กลางการศึกษาคณิตศาสตร์ของอินเดียในช่วงศตวรรษที่ 5 ถึง 10 ได้แก่ กุสุมาปุระ อุชเชนี และไมซอร์ โดยอารยภัฏมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในกุสุมาปุระ ซึ่งเป็นเมืองหลวงของราชวงศ์คุปตะในขณะนั้น และเป็นที่ตั้งของมหาวิทยาลัยนาลันทา ซึ่งรุ่งเรืองอย่างมากในช่วงศตวรรษที่ 5-6 และมีหอดูดาวขนาดใหญ่

อารยภัฏเขียนงาน อารยภฏีย์ ในปี ค.ศ. 499 ซึ่งคาดว่าอยู่ในช่วงการปกครองของพระเจ้าพุทธคุปต์ กษัตริย์องค์หนึ่งของราชวงศ์คุปตะตอนปลาย แม้ว่าประวัติศาสตร์ของราชวงศ์คุปตะตอนปลายจะมีความไม่ชัดเจนและคาดว่ามีการเสื่อมถอยหรือแตกแยก แต่หลักฐานจากจารึกต่าง ๆ แสดงให้เห็นว่าอาณาจักรของพระเจ้าพุทธคุปต์ยังคงครอบคลุมพื้นที่กว้างขวาง ตั้งแต่เบงกอลเหนือไปทางตะวันออก ไปจนถึงภูมิภาคมัลวะทางตะวันตก และทางเหนือถึงอาณาจักรคานาอุจ ทางใต้ติดกับราชวงศ์วาคาทากาบริเวณแม่น้ำนารมาดา

แคว้นอาศมกะ ซึ่งเป็นบ้านเกิดของอารยภัฏในขณะนั้นอยู่นอกอาณาเขตของราชวงศ์คุปตะ จึงเป็นไปได้ว่าอารยภัฏถูกเชิญจากอาศมกะมายังกุสุมาปุระโดยพระเจ้าพุทธคุปต์ เพื่อดำรงตำแหน่งหัวหน้ามหาวิทยาลัยนาลันทา ซึ่งเป็นสถาบันการศึกษาที่มีชื่อเสียงและมีมาตรฐานทางปัญญาสูงมากในเวลานั้น นอกจากนี้ ราชวงศ์คุปตะยังมีความสัมพันธ์ที่ดีกับราชวงศ์วาคาทากาผ่านการแต่งงาน

2.1. อารยภฏีย์ (Āryabhaṭīya)

อารยภฏีย์ เป็นงานเขียนเพียงชิ้นเดียวของอารยภัฏที่ยังคงหลงเหลือมาจนถึงปัจจุบัน และเป็นหนังสือคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอินเดียที่ระบุชื่อผู้แต่งได้ ชื่อ "อารยภฏีย์" นี้ถูกตั้งขึ้นโดยนักวิจารณ์รุ่นหลัง อารยภัฏเองอาจไม่ได้ตั้งชื่อนี้ไว้ ศิษย์ของเขา ภาสกรที่ 1 เรียกงานนี้ว่า อาศมกตันตระ (Ashmakatantra) ซึ่งแปลว่า "วิทยานิพนธ์จากชาวอาศมกะ" บางครั้งก็ถูกเรียกว่า อารย-ศต-อัษฏะ (Arya-shatas-aShTa) ซึ่งแปลว่า "108 โองการของอารยภัฏ" เนื่องจากมี 108 บทกวีในเนื้อหาหลัก

งานเขียนนี้มีลักษณะการเขียนแบบสูตร (sutra) ที่กระชับมาก โดยแต่ละบรรทัดเป็นเพียงเครื่องช่วยจำสำหรับระบบที่ซับซ้อน ดังนั้นการอธิบายความหมายจึงเป็นหน้าที่ของนักวิจารณ์รุ่นหลัง เนื้อหาประกอบด้วยบทกวีหลัก 108 บท และบทนำ 13 บท แบ่งออกเป็น 4 บท (ปาทะ):

• คีติกปาทะ (Gitikapada): (13 บทกวี) กล่าวถึงหน่วยเวลาขนาดใหญ่ เช่น กัลป์, มนวันตร และ ยุค ซึ่งนำเสนอจักรวาลวิทยาที่แตกต่างจากตำราเก่าแก่ เช่น เวทางคชโยติษะ (ราวศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช) นอกจากนี้ยังมีตารางไซน์ (ชยา) ซึ่งให้ไว้ในบทกวีเดียว ระยะเวลาการโคจรของดาวเคราะห์ในช่วง มหายุค ถูกกำหนดไว้ที่ 4.32 M ปี
• คณิตปาทะ (Ganitapada): (33 บทกวี) ครอบคลุมเรื่องการวัด (เกษตรวยวหาร), อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต, การใช้นาฬิกาแดด/เงา (ศังกุ-ฉายา), สมการเชิงเส้นอย่างง่าย, สมการกำลังสอง, สมการเชิงเส้นหลายตัวแปร และสมการไม่กำหนด (กุฏฏกะ)
• กาลกริยปาทะ (Kalakriyapada): (25 บทกวี) กล่าวถึงหน่วยเวลาที่แตกต่างกันและวิธีการกำหนดตำแหน่งของดาวเคราะห์สำหรับวันใดวันหนึ่ง การคำนวณเกี่ยวกับเดือนอธิกมาส (อธิกมาส), กษัย-ติถิ และสัปดาห์เจ็ดวันพร้อมชื่อวันในสัปดาห์
• โคลปาทะ (Golapada): (50 บทกวี) ครอบคลุมลักษณะทางเรขาคณิตและตรีโกณมิติของทรงกลมท้องฟ้า, ลักษณะของสุริยวิถี, เส้นศูนย์สูตรท้องฟ้า, โหนด, รูปร่างของโลก, สาเหตุของกลางวันและกลางคืน, การขึ้นของราศีบนขอบฟ้า เป็นต้น

อารยภฏีย์ นำเสนอนวัตกรรมจำนวนมากในคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ในรูปแบบบทกวี ซึ่งมีอิทธิพลมานานหลายศตวรรษ ความกระชับของข้อความถูกอธิบายเพิ่มเติมในอรรถกถาโดยศิษย์ของเขา ภาสกรที่ 1 (ภาสยะ, ราว ค.ศ. 600) และโดยนีลกันฐะ โสมยาชีใน อารยภฏีย์ ภาสยะ (ค.ศ. 1465)

: ในทำนองเดียวกันกับที่คนในเรือที่กำลังแล่นไปข้างหน้าเห็นวัตถุที่หยุดนิ่ง (บนฝั่ง) เคลื่อนที่ไปข้างหลัง ดาวฤกษ์ที่หยุดนิ่งก็ถูกผู้คนบนโลกเห็นว่าเคลื่อนที่ไปทางตะวันตกอย่างสม่ำเสมอ

2.2. อารยสิทธานตะ (Ārya-siddhānta)

อารยสิทธานตะ เป็นงานเขียนด้านดาราศาสตร์ที่สูญหายไป แต่เป็นที่รู้จักผ่านงานเขียนของวราหะมิหิระ นักวิชาการร่วมสมัยของอารยภัฏ รวมถึงนักคณิตศาสตร์และนักวิจารณ์รุ่นหลัง เช่น พรหมคุปต์และภาสกรที่ 1 งานนี้ดูเหมือนจะอิงตามตำราเก่าแก่กว่าอย่าง สุริยสิทธานตะ และใช้การนับวันเริ่มต้นที่เที่ยงคืน ซึ่งแตกต่างจากการนับที่พระอาทิตย์ขึ้นใน อารยภฏีย์

อารยสิทธานตะ ยังมีการบรรยายถึงเครื่องมือทางดาราศาสตร์หลายชนิด เช่น นาฬิกาแดด (ศังกุ-ยันตระ), เครื่องมือวัดเงา (ฉายา-ยันตระ), อุปกรณ์วัดมุมแบบครึ่งวงกลมและวงกลม (ธนูร-ยันตระ / จักร-ยันตระ), ไม้ทรงกระบอก (ยัษฏิ-ยันตระ), อุปกรณ์รูปทรงร่ม (ฉัตร-ยันตระ) และนาฬิกาน้ำอย่างน้อยสองชนิด ทั้งแบบรูปทรงคันธนูและทรงกระบอก

งานเขียนนี้ได้รับความนิยมสูงสุดในอินเดียเหนือในศตวรรษที่ 7 แม้ว่าพรหมคุปต์ซึ่งเป็นนักวิจารณ์ของอารยภัฏจะได้เขียนบทสรุปของ อารยสิทธานตะ ในชื่อ ขัณฑขาทฺยกะ (Khandakhadyaka) โดยมีเจตนาที่จะวิพากษ์วิจารณ์ก็ตาม ขัณฑขาทฺยกะ ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับในชื่อ อัล-คันด์ และถูกใช้เป็นคู่มือดาราศาสตร์ที่แพร่หลายในโลกอิสลาม นักวิชาการชาวเปอร์เซียและนักประวัติศาสตร์อินเดียอย่างอัล-บิรูนีก็ได้ทำการแปล ขัณฑขาทฺยกะ ใหม่ด้วย

2.3. ผลงานอื่นๆ

มีตำราฉบับที่สาม ซึ่งอาจหลงเหลืออยู่ในฉบับแปลภาษาอาหรับในชื่อ อัล นัฟ (Al ntf) หรือ อัล-นันฟ์ (Al-nanf) ซึ่งอ้างว่าเป็นงานแปลโดยอารยภัฏ แต่ไม่ทราบชื่อภาษาสันสกฤตของงานนี้ คาดว่ามีอายุราวศตวรรษที่ 9 และถูกกล่าวถึงโดยนักวิชาการชาวเปอร์เซียอัล-บิรูนี

3.1. ระบบค่าประจำหลักและศูนย์

ระบบค่าประจำหลัก ซึ่งปรากฏครั้งแรกในต้นฉบับบัคชาลีในศตวรรษที่ 3 ได้ถูกนำมาใช้อย่างชัดเจนในงานของอารยภัฏ แม้ว่าเขาจะไม่ได้ใช้สัญลักษณ์สำหรับศูนย์ แต่จอร์จส์ อีฟราห์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสโต้แย้งว่าความรู้เรื่องศูนย์นั้นแฝงอยู่ในระบบค่าประจำหลักของอารยภัฏในฐานะตำแหน่งสำหรับเลขยกกำลังของสิบที่มีสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

อย่างไรก็ตาม อารยภัฏไม่ได้ใช้เลขพราหมี แต่ยังคงยึดตามประเพณีภาษาสันสกฤตตั้งแต่สมัยพระเวท โดยใช้ตัวอักษรเพื่อแทนตัวเลข ซึ่งแสดงปริมาณต่าง ๆ เช่น ตารางไซน์ในรูปแบบการช่วยจำ

3.2. ค่าประมาณของ π (Pi)

อารยภัฏได้ทำการคำนวณค่าประมาณของπ (Pi) และอาจสรุปได้ว่า π เป็นจำนวนอตรรกยะ ในส่วนที่สองของ อารยภฏีย์ (คณิตปาทะ บทที่ 10) เขาเขียนเป็นภาษาสันสกฤตว่า:

: caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām^{ภาษาสันสกฤต}
: ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.^{ภาษาสันสกฤต}
: "เพิ่มสี่ใน 100, คูณด้วยแปด, แล้วเพิ่ม 62,000 ด้วยกฎนี้ เส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20,000 สามารถประมาณได้"

ซึ่งหมายความว่าสำหรับวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20,000 เส้นรอบวงจะเท่ากับ 62,832 นั่นคือ π = 62832/20000 = 3.1416 ซึ่งมีความแม่นยำถึงสองส่วนในหนึ่งล้าน

มีการคาดการณ์ว่าอารยภัฏใช้คำว่า อาสันนะ (āsanna) ซึ่งแปลว่า "ใกล้เคียง" เพื่อสื่อความหมายว่านี่ไม่ใช่แค่ค่าประมาณเท่านั้น แต่ค่านี้ยังเป็นจำนวนอตรรกยะอีกด้วย หากเป็นเช่นนั้นจริง นี่ถือเป็นข้อมูลเชิงลึกที่ซับซ้อนอย่างมาก เพราะการพิสูจน์ความเป็นจำนวนอตรรกยะของ π ในยุโรปเพิ่งเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1761 โดยโยฮันน์ ไฮน์ริช ลัมแบร์ต หลังจากที่ อารยภฏีย์ ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับ (ราว ค.ศ. 820) ค่าประมาณนี้ก็ถูกกล่าวถึงในหนังสือพีชคณิตของอัล-เคาะวาริซมีย์

3.3. ตรีโกณมิติ

ใน คณิตปาทะ บทที่ 6 อารยภัฏได้ให้สูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมว่า:
: tribhujasya phalaśarīraṃ samadalakoṭī bhujārdhasaṃvargaḥ^{ภาษาสันสกฤต}
ซึ่งแปลว่า: "สำหรับสามเหลี่ยม ผลลัพธ์ของเส้นตั้งฉากกับครึ่งด้านคือพื้นที่"

อารยภัฏได้กล่าวถึงแนวคิดของไซน์ในงานของเขาภายใต้ชื่อ อรรธ-ชยา (ardha-jya) ซึ่งแปลตามตัวอักษรว่า "ครึ่งคอร์ด" เพื่อความง่าย ผู้คนจึงเริ่มเรียกมันว่า ชยา (jya) เมื่อนักเขียนชาวอาหรับแปลงานของเขาจากสันสกฤตเป็นอาหรับ พวกเขาเรียกมันว่า ญิบา (jiba) อย่างไรก็ตาม ในงานเขียนภาษาอาหรับ มักจะละเว้นสระ และถูกย่อเป็น ญบ (jb) ต่อมานักเขียนรุ่นหลังได้แทนที่ด้วย ญัยบ์ (jaib) ซึ่งแปลว่า "กระเป๋า" หรือ "รอยพับ (ในเสื้อผ้า)" (ในภาษาอาหรับ ญิบา เป็นคำที่ไม่มีความหมาย) ต่อมาในศตวรรษที่ 12 เมื่อเกราร์โดแห่งเครโมนาแปลงานเขียนเหล่านี้จากภาษาอาหรับเป็นภาษาละติน เขาได้แทนที่คำว่า ญัยบ์ ในภาษาอาหรับด้วยคำภาษาละตินที่เทียบเท่ากันคือ ไซนุส (sinus) ซึ่งแปลว่า "อ่าว" หรือ "เวิ้งอ่าว" และจากคำนี้เองจึงเป็นที่มาของคำว่า "ไซน์" (sine) ในภาษาอังกฤษ

3.4. สมการไม่กำหนด

ปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียให้ความสนใจอย่างมากมาตั้งแต่สมัยโบราณคือการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ในรูปแบบ ax + by = c (ปัญหานี้ยังได้รับการศึกษาในคณิตศาสตร์จีนโบราณ และวิธีแก้ปัญหามักถูกเรียกว่าทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) นี่คือตัวอย่างจากอรรถกถาของภาสกรที่ 1 เกี่ยวกับ อารยภฏีย์:

: จงหาจำนวนที่เมื่อหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 5 เมื่อหารด้วย 9 จะเหลือเศษ 4 และเมื่อหารด้วย 7 จะเหลือเศษ 1
นั่นคือ จงหา N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1 ค่าที่น้อยที่สุดของ N คือ 85 โดยทั่วไป สมการไดโอแฟนไทน์เช่นนี้อาจเป็นเรื่องยากอย่างยิ่ง ซึ่งมีการกล่าวถึงอย่างกว้างขวางในตำราพระเวทโบราณ ศุลบสูตร (Sulba Sutras) ซึ่งส่วนที่เก่าแก่ที่สุดอาจย้อนไปถึง 800 ปีก่อนคริสต์ศักราช

วิธีการของอารยภัฏในการแก้ปัญหาดังกล่าว ซึ่งภาสกรได้อธิบายไว้อย่างละเอียดในปี ค.ศ. 621 เรียกว่าวิธี กุฏฏกะ (kuṭṭaka) คำว่า กุฏฏกะ หมายถึง "การบดละเอียด" หรือ "การแบ่งเป็นชิ้นเล็ก ๆ" และวิธีนี้เกี่ยวข้องกับขั้นตอนวิธีแบบวนซ้ำสำหรับการเขียนตัวประกอบเดิมในจำนวนที่เล็กลง ขั้นตอนวิธีนี้กลายเป็นวิธีมาตรฐานสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์อันดับหนึ่งในคณิตศาสตร์อินเดีย และในตอนแรกวิชาพีชคณิตทั้งหมดถูกเรียกว่า กุฏฏกะ-คณิตะ (kuṭṭaka-gaṇita) หรือเพียงแค่ กุฏฏกะ

3.5. พีชคณิตและอนุกรม

ใน อารยภฏีย์ อารยภัฏได้นำเสนอผลลัพธ์ที่สวยงามสำหรับการหาผลรวมของอนุกรมกำลังสองและกำลังสาม:
: 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6
และ
: 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² (ดูจำนวนสามเหลี่ยมกำลังสอง)

3.6. การวัดพื้นที่และปริมาตร

อารยภัฏได้เสนอวิธีการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตต่าง ๆ เช่น สามเหลี่ยม ดังที่กล่าวไว้ในส่วนตรีโกณมิติ นอกจากนี้ เขายังได้ให้กฎที่ไม่ถูกต้องสำหรับการคำนวณปริมาตรของพีระมิด โดยระบุว่าปริมาตรเท่ากับครึ่งหนึ่งของความสูงคูณด้วยพื้นที่ฐาน

4.1. การหมุนรอบตัวเองของโลกและความสัมพันธ์ของการเคลื่อนที่

อารยภัฏยืนยันอย่างถูกต้องว่าโลกหมุนรอบตัวเองทุกวัน และการเคลื่อนที่ปรากฏของดวงดาวเป็นการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ที่เกิดจากการหมุนของโลก ซึ่งขัดแย้งกับมุมมองที่แพร่หลายในเวลานั้นที่เชื่อว่าท้องฟ้าหมุนรอบโลก สิ่งนี้ระบุไว้ในบทแรกของ อารยภฏีย์ ซึ่งเขาระบุจำนวนการหมุนของโลกในหนึ่งยุค และชัดเจนยิ่งขึ้นในบท โคลปาทะ ของเขา:

: ในทำนองเดียวกันกับที่คนในเรือที่กำลังแล่นไปข้างหน้าเห็นวัตถุที่หยุดนิ่งเคลื่อนที่ไปข้างหลัง คนที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรก็เห็นดาวฤกษ์ที่หยุดนิ่งเคลื่อนที่ไปทางตะวันตกอย่างสม่ำเสมอ สาเหตุของการขึ้นและตก [คือ] ทรงกลมของดวงดาวพร้อมกับดาวเคราะห์ [ดูเหมือน?] หมุนไปทางตะวันตกที่เส้นศูนย์สูตร โดยถูกผลักอย่างต่อเนื่องจากลมสุริยะ

4.2. แบบจำลองทางดาราศาสตร์

อารยภัฏได้อธิบายแบบจำลองโลกเป็นศูนย์กลางของระบบสุริยะ ซึ่งดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ต่างก็ถูกพาไปโดยอีพิไซเคิล และพวกมันก็โคจรรอบโลกอีกทีหนึ่ง ในแบบจำลองนี้ ซึ่งพบใน ไพตามหาสิทธานตะ (ราว ค.ศ. 425) การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์แต่ละดวงถูกควบคุมโดยอีพิไซเคิลสองดวง ได้แก่ มันดา (manda) ที่เล็กกว่า (ช้า) และ ศีฆระ (śīghra) ที่ใหญ่กว่า (เร็ว) ลำดับของดาวเคราะห์ตามระยะทางจากโลกถูกกำหนดไว้ดังนี้: ดวงจันทร์, ดาวพุธ, ดาวศุกร์, ดวงอาทิตย์, ดาวอังคาร, ดาวพฤหัสบดี, ดาวเสาร์ และกลุ่มดาว

ตำแหน่งและคาบการโคจรของดาวเคราะห์ถูกคำนวณสัมพันธ์กับจุดที่เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ ในกรณีของดาวพุธและดาวศุกร์ พวกมันเคลื่อนที่รอบโลกด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่ากับดวงอาทิตย์ ในกรณีของดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์ พวกมันเคลื่อนที่รอบโลกด้วยความเร็วเฉพาะ ซึ่งแสดงถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์แต่ละดวงผ่านจักรราศี นักประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ส่วนใหญ่พิจารณาว่าแบบจำลองสองอีพิไซเคิลนี้สะท้อนองค์ประกอบของดาราศาสตร์กรีกก่อนยุคทอเลมี อีกองค์ประกอบหนึ่งในแบบจำลองของอารยภัฏคือ ศีฆโรจจะ (śīghrocca) ซึ่งเป็นคาบการโคจรพื้นฐานของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ ถูกมองโดยนักประวัติศาสตร์บางคนว่าเป็นสัญญาณของแบบจำลองดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางที่แฝงอยู่ เขายังอาจเชื่อว่าวงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรีมากกว่าวงกลม

4.3. สุริยุปราคาและจันทรุปราคา

สุริยุปราคาและจันทรุปราคาได้รับการอธิบายทางวิทยาศาสตร์โดยอารยภัฏ เขากล่าวว่าดวงจันทร์และดาวเคราะห์ส่องแสงโดยการสะท้อนแสงอาทิตย์ แทนที่จะเป็นจักรวาลวิทยาที่แพร่หลายในเวลานั้น ซึ่งเชื่อว่าคราสเกิดจากราหูและพระเกตุ (ระบุว่าเป็นโหนดจันทรคติเทียม) เขาอธิบายคราสในแง่ของเงาที่โลกและดวงจันทร์ทอดไปและตกกระทบ ดังนั้นจันทรุปราคาจึงเกิดขึ้นเมื่อดวงจันทร์เข้าสู่เงาของโลก (บทกวี โคลปาทะ 37) เขาได้กล่าวถึงขนาดและขอบเขตของเงาโลกอย่างละเอียด (บทกวี โคลปาทะ 38-48) จากนั้นจึงให้การคำนวณและขนาดของส่วนที่เกิดคราสในระหว่างคราส

นักดาราศาสตร์ชาวอินเดียรุ่นหลังได้ปรับปรุงการคำนวณ แต่ระเบียบวิธีของอารยภัฏเป็นแกนหลัก กระบวนทัศน์การคำนวณของเขาแม่นยำมากจนกีโยม เลอ ฌ็องตี นักวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 ระหว่างการเยี่ยมชมปอนดิเชอร์รี อินเดีย พบว่าการคำนวณของอินเดียเกี่ยวกับระยะเวลาของจันทรุปราคาเมื่อวันที่ 30 สิงหาคม ค.ศ. 1765 คลาดเคลื่อนไปเพียง 41 s ในขณะที่แผนภูมิของเขา (โดยโทเบียส ไมเออร์, ค.ศ. 1752) คลาดเคลื่อนไป 68 s

4.4. คาบดาราคติและการคำนวณ

เมื่อพิจารณาในหน่วยเวลาภาษาอังกฤษสมัยใหม่ อารยภัฏคำนวณการหมุนรอบตัวเองของโลก (การหมุนของโลกโดยอ้างอิงจากดาวฤกษ์คงที่) ได้ 23 h 56 m และ 4.1 s ในขณะที่ค่าที่แม่นยำในปัจจุบันคือ 23 h 56 m 4.091 s ในทำนองเดียวกัน ค่าของเขาสำหรับความยาวของปีดาราคติที่ 365 d 6 h 12 m และ 30 s (365.25858 d) มีความคลาดเคลื่อนเพียง 3 m 20 s จากความยาวที่แท้จริงของปี (365.25636 d)

นอกจากนี้ เขายังได้คำนวณอัตราส่วนของคาบการหมุนรอบตัวเองของโลกต่อคาบการโคจรของดวงจันทร์ได้ 27.273964 ซึ่งใกล้เคียงกับค่าเดือนดาราคติที่ประมาณ 27.32 d

4.5. เครื่องมือทางดาราศาสตร์

อารยภัฏได้อธิบายถึงเครื่องมือทางดาราศาสตร์หลายชนิดในงานเขียนของเขา โดยเฉพาะใน อารยสิทธานตะ เครื่องมือเหล่านี้รวมถึง:

• นาฬิกาแดด (ศังกุ-ยันตระ): ใช้ในการวัดเวลาโดยอาศัยเงาของวัตถุ
• เครื่องมือวัดเงา (ฉายา-ยันตระ): อุปกรณ์ที่ใช้ในการสังเกตและวัดเงาเพื่อการคำนวณทางดาราศาสตร์
• อุปกรณ์วัดมุม (ธนูร-ยันตระ / จักร-ยันตระ): อุปกรณ์รูปทรงครึ่งวงกลมและวงกลมที่อาจใช้ในการวัดมุม
• ไม้ทรงกระบอก (ยัษฏิ-ยันตระ): อุปกรณ์ทรงกระบอกที่ใช้ในการสังเกตการณ์
• อุปกรณ์รูปทรงร่ม (ฉัตร-ยันตระ): อุปกรณ์ที่มีลักษณะคล้ายร่ม
• นาฬิกาน้ำ (Water clocks): มีอย่างน้อยสองชนิด ทั้งแบบรูปทรงคันธนูและแบบทรงกระบอก ใช้ในการวัดเวลา

5.1. อิทธิพลต่อวิทยาศาสตร์อินเดียและอิสลาม

ผลงานของอารยภัฏมีอิทธิพลอย่างมากต่อประเพณีดาราศาสตร์ของอินเดีย โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแปลเป็นภาษาอาหรับในช่วงยุคทองของอิสลาม (ราว ค.ศ. 820) ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมาก ผลลัพธ์บางส่วนของเขาถูกอ้างถึงโดยอัล-เคาะวาริซมีย์ และในศตวรรษที่ 10 อัล-บิรูนีได้กล่าวว่าผู้ติดตามของอารยภัฏเชื่อว่าโลกหมุนรอบตัวเอง

วิธีการคำนวณทางดาราศาสตร์ของเขารวมถึงตารางตรีโกณมิติ ได้รับการนำไปใช้อย่างแพร่หลายในโลกอิสลามเพื่อคำนวณตารางดาราศาสตร์ซีจ์ (zijes) จำนวนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตารางดาราศาสตร์ในงานของอัล-ซาร์กาลี นักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับในอัล-อันดาลุส (ศตวรรษที่ 11) ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในชื่อตารางโตเลโด (Tables of Toledo) (ศตวรรษที่ 12) และยังคงเป็นปฏิทินดาราศาสตร์ที่แม่นยำที่สุดที่ใช้ในยุโรปมานานหลายศตวรรษ

5.2. ศัพท์ตรีโกณมิติ

คำจำกัดความของไซน์ (ชยา), โคไซน์ (โคชยา), เวอร์ไซน์ (อุตกรม-ชยา) และอินเวอร์สไซน์ (โอตกรม ชยา) ของอารยภัฏมีอิทธิพลต่อการกำเนิดของตรีโกณมิติ เขายังเป็นคนแรกที่ระบุตารางไซน์และเวอร์ไซน์ (1 - cos x) โดยมีช่วงห่าง 3.75 องศา จาก 0 องศา ถึง 90 องศา ด้วยความแม่นยำถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง

แท้จริงแล้ว คำว่า "ไซน์" และ "โคไซน์" ในปัจจุบันเป็นการถอดความที่ผิดเพี้ยนไปจากคำว่า ชยา และ โคชยา ที่อารยภัฏนำเสนอ ดังที่กล่าวไปแล้ว คำเหล่านี้ถูกแปลเป็น ญิบา และ โคญิบา ในภาษาอาหรับ และต่อมาถูกเกราร์โดแห่งเครโมนาเข้าใจผิดในขณะแปลตำราเรขาคณิตภาษาอาหรับเป็นภาษาละติน เขาคิดว่า ญิบา เป็นคำภาษาอาหรับ ญัยบ์ ซึ่งแปลว่า "รอยพับในเสื้อผ้า" และแปลเป็นภาษาละตินว่า ไซนุส (sinus) (ราว ค.ศ. 1150) ซึ่งเป็นที่มาของคำว่า "ไซน์" (sine) ในภาษาอังกฤษ

5.3. ระบบปฏิทิน

การคำนวณปฏิทินที่คิดค้นโดยอารยภัฏและผู้ติดตามของเขาได้ถูกนำมาใช้อย่างต่อเนื่องในอินเดียเพื่อวัตถุประสงค์ในการกำหนดปัญจางคัม (ปฏิทินศาสนาฮินดู) ในโลกอิสลาม การคำนวณของเขาได้เป็นพื้นฐานของปฏิทินจาลาลีที่นำมาใช้ในปี ค.ศ. 1073 โดยกลุ่มนักดาราศาสตร์รวมถึงโอมาร์ คัยยัม ปฏิทินจาลาลีในรูปแบบที่ได้รับการปรับปรุงในปี ค.ศ. 1925 ยังคงเป็นปฏิทินประจำชาติที่ใช้ในอิหร่านและอัฟกานิสถานในปัจจุบัน วันที่ในปฏิทินจาลาลีอิงจากการเคลื่อนที่จริงของดวงอาทิตย์ เช่นเดียวกับปฏิทินของอารยภัฏและปฏิทินสิทธานตะก่อนหน้านั้น แม้ว่าการคำนวณวันที่จะทำได้ยาก แต่ข้อผิดพลาดตามฤดูกาลในปฏิทินจาลาลีมีน้อยกว่าในปฏิทินเกรกอเรียน

5.4. อนุสรณ์และการยกย่อง

เพื่อเป็นเกียรติแก่อารยภัฏ มีการตั้งชื่อสิ่งต่าง ๆ ตามชื่อของเขามากมาย รวมถึง:

• มหาวิทยาลัยอารยภัฏญาณ (Aryabhatta Knowledge University - AKU) ในเมืองปัฏนะ รัฐพิหาร ซึ่งก่อตั้งโดยรัฐบาลพิหารเพื่อพัฒนาและจัดการโครงสร้างพื้นฐานทางการศึกษาที่เกี่ยวข้องกับเทคนิค การแพทย์ การจัดการ และการศึกษาด้านวิชาชีพ

• 

• ดาวเทียมอารยภัฏ ซึ่งเป็นดาวเทียมดวงแรกของอินเดีย และหลุมอุกกาบาตบนดวงจันทร์ชื่อหลุมอุกกาบาตอารยภัฏ ทั้งสองถูกตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ดาวเทียมอารยภัฏยังปรากฏอยู่ด้านหลังของธนบัตรอินเดีย 2 รูปี
• สถาบันวิจัยดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ดาราศาสตร์ และวิทยาศาสตร์บรรยากาศอารยภัฏ (Aryabhatta Research Institute of Observational Sciences - ARIES) ใกล้เมืองไนน์ตาล อินเดีย
• การแข่งขันคณิตศาสตร์อารยภัฏ (Aryabhata Maths Competition) ซึ่งเป็นการแข่งขันระหว่างโรงเรียน
• Bacillus aryabhata ซึ่งเป็นสปีชีส์ของแบคทีเรียที่ค้นพบในสตราโตสเฟียร์โดยนักวิทยาศาสตร์ของISRO ในปี ค.ศ. 2009

6.1. การประเมินทางประวัติศาสตร์

อารยภฏีย์ เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอินเดียที่ยังคงหลงเหลืออยู่และสามารถระบุชื่อผู้แต่งได้ อารยภัฏเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่สร้างสรรค์และมีนวัตกรรม อย่างไรก็ตาม ผลงานของเขาก็ยังคงมีการประนีประนอมกับประเพณีดั้งเดิมบางอย่าง เช่น การรวมแนวคิดเรื่องเวลาทางจักรวาลวิทยาของศาสนาเชน นักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ เอ็ม. แอล. ชาร์มา ได้ยกย่องอารยภัฏว่าเป็น "อาจารย์ (อาจารย์) คนแรก" ของดาราศาสตร์อินเดีย เนื่องจากเขาได้ทำการวิจัยและเขียนหนังสือด้วยตนเอง ซึ่งแตกต่างจากนักวิชาการคนอื่น ๆ ในยุคเดียวกันที่อ้างว่าความรู้ของตนมาจากตำราศักดิ์สิทธิ์หรือการถ่ายทอดจากนักบุญ

6.2. คำวิจารณ์และข้อโต้แย้ง

อารยภัฏเผชิญกับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงจากพรหมคุปต์ ซึ่งเป็นนักวิชาการที่ยึดมั่นในแนวคิดของพราหมณ์ ในบทที่ 1 บทที่ 62 ของงานเขียน พรหมสผุฏสิทธานตะ (Brāhmasphuṭasiddhānta) พรหมคุปต์เขียนว่า: "ผู้สนับสนุนของอารยภัฏไม่กล้าเผชิญหน้าอย่างเปิดเผยเหมือนละมั่ง พวกเขาไม่กล้าเผชิญหน้ากับสิงโตแม้จะเห็นมันก็ตาม"

กริกอรี มักซิโมวิช บงการ์ด-เลวิน นักอินเดียวิทยาชาวโซเวียต ตีความว่าข้อความนี้เป็นการที่พรหมคุปต์ปกป้องอารยภัฏโดยปริยาย โดยชี้ให้เห็นว่าอารยภัฏอาจถูกวิพากษ์วิจารณ์และถูกกดขี่โดยพราหมณ์ออร์โธดอกซ์เนื่องจากแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ของเขา และเขาเลือกที่จะหลีกเลี่ยงการเผชิญหน้า

นอกจากนี้ งานเขียน ปัญจสิทธานติกา (Pancha Siddhantika) ของวราหะมิหิระ ยังได้กล่าวถึงตำราที่เป็นที่นิยมในยุคของอารยภัฏ ซึ่งอ้างว่าความรู้ของตนมีต้นกำเนิดมาจากเทพเจ้าหรือนักบุญ ซึ่งแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับงานของอารยภัฏที่เกิดจากการวิจัยและสติปัญญาของเขาเอง