พอล ฮาลโมส

4.1. ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์

ในชุดบทความที่รวบรวมอยู่ในหนังสือ Algebraic Logic ของเขาในปี ค.ศ. 1962 ฮาลมอสได้พัฒนาพีชคณิตโพลีแอดิก (polyadic algebras) ซึ่งเป็นรูปแบบพีชคณิตของตรรกศาสตร์อันดับที่หนึ่ง ที่แตกต่างจากพีชคณิตทรงกระบอก (cylindric algebras) ที่เป็นที่รู้จักกันดีกว่าของอัลเฟรด ทาร์สกีและลูกศิษย์ของเขา พีชคณิตโพลีแอดิกในรูปแบบพื้นฐานมีการอธิบายไว้ในพีชคณิตบูลีนเอกภาค (monadic Boolean algebra)

4.2. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและทฤษฎีเออร์โกดิก

ฮาลมอสมีส่วนร่วมในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นและทฤษฎีเออร์โกดิกอย่างลึกซึ้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หนังสือของเขาเรื่อง Lectures on Ergodic Theory ในปี ค.ศ. 1956 เป็นผลงานสำคัญในสาขานี้

4.3. การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีการแปลง

ฮาลมอสได้สร้างความก้าวหน้าพื้นฐานในการการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert spaces) และทฤษฎีตัวดำเนินการ (operator theory) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ผลงานที่สำคัญของเขาในสาขานี้ ได้แก่ หนังสือ Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity (ค.ศ. 1951), A Hilbert Space Problem Book (ค.ศ. 1967) และ Bounded Integral Operators on L² Spaces (ค.ศ. 1978) ซึ่งเขียนร่วมกับ วี. เอส. ซันเดอร์

5.1. หนังสือเล่มสำคัญ

• ค.ศ. 1942: Finite-Dimensional Vector Spaces (ปริภูมิเวกเตอร์จำกัดมิติ) ซึ่งเป็นหนังสือเล่มแรกของเขาที่สร้างชื่อเสียงให้เขาในฐานะนักอธิบายคณิตศาสตร์
• ค.ศ. 1950: Measure Theory (ทฤษฎีการวัด)
• ค.ศ. 1951: Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity (บทนำสู่ปริภูมิฮิลเบิร์ตและทฤษฎีความหลากหลายเชิงสเปกตรัม)
• ค.ศ. 1956: Lectures on Ergodic Theory (การบรรยายว่าด้วยทฤษฎีเออร์โกดิก)
• ค.ศ. 1960: Naive Set Theory (ทฤษฎีเซตเชิงสามัญ)
• ค.ศ. 1962: Algebraic Logic (ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิต)
• ค.ศ. 1963: Lectures on Boolean Algebras (การบรรยายว่าด้วยพีชคณิตบูลีน)
• ค.ศ. 1967: A Hilbert Space Problem Book (หนังสือโจทย์ปริภูมิฮิลเบิร์ต)
• ค.ศ. 1973: How to Write Mathematics (วิธีการเขียนคณิตศาสตร์) ร่วมกับ นอร์แมน อี. สตีนรอด, เมนาเฮม เอ็ม. ชิฟเฟอร์ และ ฌอง เอ. ดีเยอโดเน่ (บทความของฮาลมอสในชื่อเดียวกันนี้เคยถูกตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1970)
• ค.ศ. 1978: Bounded Integral Operators on L² Spaces (ตัวดำเนินการปริพันธ์มีขอบเขตบนปริภูมิ L²) ร่วมกับ วี. เอส. ซันเดอร์
• ค.ศ. 1985: I Want to Be a Mathematician (ฉันอยากเป็นนักคณิตศาสตร์) เป็น "อัตชีวคณิตศาสตร์" (automathography) ของเขา ซึ่งเน้นไปที่ชีวิตในฐานะนักคณิตศาสตร์เป็นหลัก
• ค.ศ. 1987: I Have a Photographic Memory (ฉันมีความจำแบบภาพถ่าย)
• ค.ศ. 1991: Problems for Mathematicians, Young and Old (โจทย์สำหรับนักคณิตศาสตร์ ทั้งเด็กและผู้ใหญ่)
• ค.ศ. 1996: Linear Algebra Problem Book (หนังสือโจทย์พีชคณิตเชิงเส้น)
• ค.ศ. 1998: Logic as Algebra (ตรรกศาสตร์ในฐานะพีชคณิต) ร่วมกับ สตีเวน กิแวนต์
• ค.ศ. 2009: Introduction to Boolean Algebras (บทนำสู่พีชคณิตบูลีน) ตีพิมพ์หลังมรณกรรม ร่วมกับ สตีเวน กิแวนต์

5.2. รางวัลด้านการอธิบายและผลงานเขียน

ฮาลมอสได้รับรางวัล Lester R. Ford Award ในปี ค.ศ. 1971 จากบทความ "Finite-dimensional Hilbert spaces" และได้รับรางวัลนี้อีกครั้งในปี ค.ศ. 1977 (ร่วมกับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ) รางวัลนี้ได้ถูกเปลี่ยนชื่อเป็น "Paul R. Halmos - Lester R. Ford Award" ในปี ค.ศ. 2012 เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา นอกจากนี้ ฮาลมอสยังเป็นประธานคณะกรรมการของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (AMS) ที่จัดทำคู่มือรูปแบบการเขียนคณิตศาสตร์เชิงวิชาการของ AMS ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1973 และในปี ค.ศ. 1983 เขาได้รับรางวัล รางวัลสตีล สาขาการอธิบาย (Steele Prize for Exposition) จาก AMS ซึ่งเป็นการยกย่องความสามารถของเขาในการสื่อสารแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนให้เข้าใจง่าย

5.3. รางวัลด้านการสอน

ในปี ค.ศ. 1994 ฮาลมอสได้รับรางวัล Deborah and Franklin Haimo Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics ซึ่งเป็นรางวัลที่มอบให้แก่ผู้ที่มีผลงานโดดเด่นในการสอนคณิตศาสตร์ระดับวิทยาลัยหรือมหาวิทยาลัย รางวัลนี้สะท้อนให้เห็นถึงคุณูปการอันใหญ่หลวงของเขาในด้านการศึกษาและถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์

6.1. การพัฒนารูปแบบสัญลักษณ์

ฮาลมอสอ้างว่าเขาเป็นผู้คิดค้นสัญลักษณ์ "iff" ซึ่งย่อมาจาก "ก็ต่อเมื่อ" (if and only if) และเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์ "tombstone" (∎, ยูนิโคด U+220E) เพื่อบ่งบอกจุดสิ้นสุดของการพิสูจน์ ซึ่งสัญลักษณ์นี้บางครั้งก็ถูกเรียกว่า "ฮาลมอส" (halmos) การอ้างสิทธิ์เหล่านี้ของเขาซึ่งปรากฏในบันทึกความทรงจำของเขาได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง

6.2. มุมมองต่อคณิตศาสตร์

ในบทความที่ตีพิมพ์ในวารสาร American Scientist ฉบับฤดูหนาวปี ค.ศ. 1968 ฮาลมอสได้โต้แย้งว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะเชิงสร้างสรรค์ และนักคณิตศาสตร์ควรถูกมองว่าเป็นศิลปิน ไม่ใช่แค่ผู้คำนวณตัวเลขเท่านั้น เขายังได้อภิปรายถึงการแบ่งสาขาวิชาคณิตศาสตร์ออกเป็น "mathology" และ "mathophysics" และโต้แย้งเพิ่มเติมว่านักคณิตศาสตร์และจิตรกรมีแนวคิดและวิธีการทำงานที่คล้ายคลึงกัน
ในหนังสืออัตชีวคณิตศาสตร์ของเขา I Want to Be a Mathematician ฮาลมอสได้กล่าวถึงมุมมองของเขาเกี่ยวกับการทำคณิตศาสตร์ว่า:
"อย่าเพียงแค่อ่านมัน จงต่อสู้กับมัน! ตั้งคำถามของตัวเอง มองหาตัวอย่างของตัวเอง ค้นพบการพิสูจน์ของตัวเอง สมมติฐานจำเป็นหรือไม่? บทกลับเป็นจริงหรือไม่? จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีพิเศษแบบคลาสสิก? แล้วกรณีที่เสื่อมถอยล่ะ? การพิสูจน์ใช้สมมติฐานตรงไหน?"
เขายังได้กล่าวถึงสิ่งที่จำเป็นในการเป็นนักคณิตศาสตร์ว่า:
"คุณต้องเกิดมาอย่างถูกต้อง คุณต้องพยายามอย่างต่อเนื่องเพื่อทำให้สมบูรณ์แบบ คุณต้องรักคณิตศาสตร์มากกว่าสิ่งอื่นใด คุณต้องทำงานหนักและไม่หยุดพัก และคุณจะต้องไม่ยอมแพ้"

7.1. งานเขียนอัตชีวประวัติทางคณิตศาสตร์

หนังสือ I Want to Be a Mathematician ในปี ค.ศ. 1985 ซึ่งฮาลมอสเรียกว่า "automathography" (อัตชีวคณิตศาสตร์) แทนที่จะเป็น "autobiography" (อัตชีวประวัติ) เนื่องจากหนังสือเล่มนี้เน้นไปที่ชีวิตของเขาในฐานะนักคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด โดยไม่ได้กล่าวถึงชีวิตส่วนตัวของเขามากนัก

7.2. กิจกรรมเพื่อสังคมและการศึกษา

ในปี ค.ศ. 2005 ฮาลมอสและภรรยาของเขา เวอร์จิเนีย ฮาลมอส ได้ร่วมกันก่อตั้งรางวัลหนังสือออยเลอร์ (Euler Book Prize) ซึ่งเป็นรางวัลประจำปีที่มอบโดยสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน (MAA) ให้แก่หนังสือที่น่าจะช่วยปรับปรุงมุมมองของสาธารณชนที่มีต่อคณิตศาสตร์ รางวัลแรกมอบให้ในปี ค.ศ. 2007 ซึ่งเป็นปีครบรอบ 300 ปีชาตกาลของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ โดยมอบให้กับจอห์น เดอร์บีเชียร์ สำหรับหนังสือของเขาเกี่ยวกับแบร์นฮาร์ด รีมันน์และสมมติฐานรีมันน์ ชื่อ Prime Obsession
ในปี ค.ศ. 2009 จอร์จ ซิกเซรี ได้นำเสนอเรื่องราวของฮาลมอสในภาพยนตร์สารคดีชื่อเดียวกันว่า I Want to Be a Mathematician ซึ่งช่วยส่งเสริมความเข้าใจของสาธารณชนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์