1. ภาพรวม
มาริยึส ซูฟึส ลี (Marius Sophus Lie) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ผู้มีบทบาทสำคัญในการวางรากฐานของทฤษฎีสมมาตรต่อเนื่อง เขาได้นำทฤษฎีนี้ไปประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในการศึกษาเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ นอกจากนี้ ลียังได้มีส่วนร่วมสำคัญในการพัฒนาพีชคณิตอีกด้วย
งานวิจัยที่โดดเด่นที่สุดของลีคือการคิดค้นและพัฒนากรุปลี (Lie group) และพีชคณิตลี (Lie algebra) ซึ่งเป็นแนวคิดที่ทำให้เข้าใจกรุปการแปลงต่อเนื่องได้ดีขึ้นโดยการทำให้เป็นเชิงเส้น (linearizing) และศึกษาจากสนามเวกเตอร์ตัวก่อกำเนิดอนันต์ (infinitesimal generators) งานของลีได้รับอิทธิพลจากโครงการเออร์ลังเงิน (Erlangen program) ของเฟลิกซ์ ไคลน์ และเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีกรุปต่อเนื่อง
แม้ว่าผลงานของลีจะไม่ได้รับการยอมรับอย่างเต็มที่ในช่วงชีวิตของเขา แต่ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์อย่างแฮร์มัน ไวล์และเอลี การ์ต็องได้นำแนวคิดของลีมาต่อยอดและทำให้สมบูรณ์ ส่งผลให้ทฤษฎีกรุปลีมีบทบาทสำคัญในหลากหลายสาขาของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ควอนตัม นอกจากคุณูปการทางวิชาการแล้ว ลียังมีบทบาทในการผลักดันให้เกิดการก่อตั้งรางวัลอาเบล ซึ่งเป็นรางวัลอันทรงเกียรติในสาขาคณิตศาสตร์อีกด้วย
2. ชีวิต
มาริยึส ซูฟึส ลีเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ที่สร้างผลงานอันโดดเด่นในสาขาทฤษฎีสมมาตรต่อเนื่องและเรขาคณิต ชีวิตของเขามีเส้นทางที่น่าสนใจตั้งแต่การศึกษาในวัยเยาว์ การพบปะกับบุคคลสำคัญในวงการคณิตศาสตร์ ไปจนถึงความก้าวหน้าในอาชีพทางวิชาการและปัญหาด้านสุขภาพในบั้นปลาย
2.1. ชีวิตวัยเด็กและการศึกษา
มาริยึส ซูฟึส ลี เกิดเมื่อวันที่ 17 ธันวาคม ค.ศ. 1842 ที่เมืองเล็ก ๆ ชื่อนูร์ฟิยูไรด์ (Nordfjordeid) ในประเทศนอร์เวย์ เขาเป็นบุตรคนสุดท้องจากทั้งหมดหกคนของโยฮัน ฮาร์มัน ลี (Johann Herman Lie) ซึ่งเป็นบาทหลวงนิกายลูเทอแรน มารดาของเขามาจากครอบครัวที่มีชื่อเสียงในเมืองทรอนด์เฮม (Trondheim)
ลีได้รับการศึกษาขั้นต้นในเมืองมูส (Moss) ซึ่งตั้งอยู่ทางชายฝั่งตะวันออกเฉียงใต้ ก่อนจะเข้าศึกษาต่อในระดับมัธยมปลายที่ออสโล (ในขณะนั้นรู้จักกันในชื่อคริสเตียเนีย) หลังจากสำเร็จการศึกษาระดับมัธยมปลาย ความใฝ่ฝันที่จะประกอบอาชีพทหารของเขาต้องจบลงเนื่องจากกองทัพปฏิเสธเขาด้วยปัญหาด้านสายตาที่บกพร่อง จากนั้นเขาจึงเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยคริสเตียเนีย (ปัจจุบันคือมหาวิทยาลัยออสโล)
2.2. กิจกรรมช่วงต้นและบุคคลสำคัญที่พบเจอ
ผลงานทางคณิตศาสตร์ชิ้นแรกของซูฟึส ลี คือ Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie ได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1869 โดยสถาบันวิทยาศาสตร์ในคริสเตียเนีย (ออสโล) และในวารสาร Crelle's Journal ในปีเดียวกันนั้นเอง เขาได้รับทุนการศึกษาและเดินทางไปยังเบอร์ลิน โดยพำนักอยู่ที่นั่นตั้งแต่เดือนกันยายน ค.ศ. 1869 ถึงเดือนกุมภาพันธ์ ค.ศ. 1870 ที่เบอร์ลิน เขาได้พบกับเฟลิกซ์ ไคลน์ นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง และทั้งสองก็กลายเป็นเพื่อนสนิทกัน
เมื่อออกจากเบอร์ลิน ลีได้เดินทางต่อไปยังปารีส ซึ่งไคลน์ได้เดินทางตามมาสมทบในอีกสองเดือนต่อมา ที่ปารีส พวกเขาได้พบกับกามีย์ ฌอร์ฎอง (Camille Jordan) และกัสตง ดาร์บู (Gaston Darboux) อย่างไรก็ตาม เมื่อวันที่ 19 กรกฎาคม ค.ศ. 1870 สงครามฝรั่งเศส-ปรัสเซียได้เริ่มต้นขึ้น ไคลน์ซึ่งเป็นชาวปรัสเซียจึงต้องเดินทางออกจากฝรั่งเศสอย่างรวดเร็ว ส่วนลีได้เดินทางไปยังฟงแตนบลู (Fontainebleau) แต่กลับถูกจับกุมในข้อหาต้องสงสัยว่าเป็นสายลับชาวเยอรมัน ซึ่งเหตุการณ์นี้ทำให้เขามีชื่อเสียงในนอร์เวย์ เขาได้รับการปล่อยตัวจากเรือนจำหลังจากผ่านไปหนึ่งเดือน ด้วยความช่วยเหลือจากกัสตง ดาร์บู
2.3. อาชีพทางวิชาการ
ลีได้รับปริญญาเอกที่มหาวิทยาลัยคริสเตียเนีย (ปัจจุบันคือกรุงออสโล) ในปี ค.ศ. 1871 โดยมีวิทยานิพนธ์เรื่อง Over en Classe geometriske Transformationer (ว่าด้วยชั้นของการแปลงทางเรขาคณิต) ซึ่งต่อมากัสตง ดาร์บูได้บรรยายว่าเป็น "หนึ่งในการค้นพบที่งดงามที่สุดในเรขาคณิตสมัยใหม่" ในปีถัดมา รัฐสภานอร์เวย์ได้จัดตั้งตำแหน่งศาสตราจารย์พิเศษสำหรับเขาขึ้น ในปีเดียวกันนั้น ลีได้เดินทางไปเยี่ยมไคลน์ที่เมืองเออร์ลังเงิน (Erlangen) ซึ่งขณะนั้นไคลน์กำลังดำเนินการวิจัยเกี่ยวกับโครงการเออร์ลังเงิน
ในปี ค.ศ. 1872 ลีได้ใช้เวลาแปดเดือนร่วมกับปีเตอร์ ลุดวิก เมย์เดล ซิลโลว์ (Peter Ludwig Mejdell Sylow) ในการแก้ไขและตีพิมพ์ผลงานทางคณิตศาสตร์ของนีลส์ เฮนริก อาเบล นักคณิตศาสตร์ร่วมชาติของพวกเขา
ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1876 เป็นต้นมา ลีได้ร่วมเป็นบรรณาธิการของวารสาร Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (จดหมายเหตุสำหรับคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ) ร่วมกับแพทย์ยาคอบ วอร์ม-มึลเลอร์ (Jacob Worm-Müller) และนักชีววิทยาเกออร์ก ออสเซียน ซาร์ส (Georg Ossian Sars)
ในปี ค.ศ. 1884 ฟรีดริช เอ็งเงิล (Friedrich Engel) ได้เดินทางมายังคริสเตียเนียเพื่อช่วยงานลี โดยได้รับการสนับสนุนจากเฟลิกซ์ ไคลน์และคริสเตียน กุสตาฟ อดอล์ฟ ไมเยอร์ (Christian Gustav Adolph Mayer) ซึ่งทั้งสองเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยไลพ์ซิกในขณะนั้น เอ็งเงิลได้ช่วยลีเขียนตำราที่สำคัญที่สุดของเขาคือ Theorie der Transformationsgruppen (ทฤษฎีของกรุปการแปลง) ซึ่งตีพิมพ์ในเมืองไลพ์ซิกจำนวนสามเล่มตั้งแต่ปี ค.ศ. 1888 ถึง ค.ศ. 1893 หลายทศวรรษต่อมา เอ็งเงิลยังคงเป็นหนึ่งในบรรณาธิการสองคนของผลงานรวม (collected works) ของลี
ในปี ค.ศ. 1886 ลีได้เป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยไลพ์ซิก โดยมาแทนที่ไคลน์ซึ่งย้ายไปที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงิน (University of Göttingen)
2.4. ชีวิตส่วนตัวและบั้นปลายชีวิต
เมื่อปลายปี ค.ศ. 1872 ซูฟึส ลีได้ขอแอนนา เบิร์ช (Anna Birch) วัย 18 ปีแต่งงาน และทั้งคู่ก็แต่งงานกันในปี ค.ศ. 1874 ทั้งคู่มีบุตรด้วยกันสามคน ได้แก่ มารี (เกิด ค.ศ. 1877), ดักนี (เกิด ค.ศ. 1880) และเฮอร์มัน (เกิด ค.ศ. 1884)
ในเดือนพฤศจิกายน ค.ศ. 1889 ลีประสบภาวะอาการทางจิตใจที่แย่ลงและต้องเข้ารับการรักษาในโรงพยาบาลจนถึงเดือนมิถุนายน ค.ศ. 1890 หลังจากนั้นเขาก็กลับไปทำงานได้ตามปกติ แต่ตลอดหลายปีที่ผ่านมาอาการภาวะโลหิตจางของเขาก็แย่ลงเรื่อยๆ จนถึงขั้นต้องเดินทางกลับบ้านเกิด ในปี ค.ศ. 1898 เขาได้ยื่นใบลาออกในเดือนพฤษภาคม และเดินทางกลับบ้านเกิดในเดือนกันยายนปีเดียวกัน มหาวิทยาลัยคริสเตียเนียได้เปิดตำแหน่งศาสตราจารย์ให้แก่เขาอีกครั้งเพื่อให้เขากลับมาสอนในบ้านเกิด
2.5. การเสียชีวิต
มาริยึส ซูฟึส ลี เสียชีวิตเมื่อวันที่ 18 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1899 ด้วยวัย 56 ปี ที่บ้านเกิดของเขา สาเหตุการเสียชีวิตมาจากภาวะโลหิตจางร้ายแรง (pernicious anemia) ซึ่งเป็นโรคที่เกิดจากความผิดปกติในการดูดซึมวิตามินบี 12
3. ผลงานสำคัญทางคณิตศาสตร์
มาริยึส ซูฟึส ลี สร้างผลงานที่เป็นรากฐานสำคัญในคณิตศาสตร์ยุคใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านทฤษฎีสมมาตรต่อเนื่อง ซึ่งส่งผลกระทบอย่างลึกซึ้งต่อเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์
3.1. การพัฒนาทฤษฎีกรุปลีและพีชคณิตลี
เครื่องมือหลักและหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของลี คือการค้นพบว่ากรุปการแปลงต่อเนื่อง (ซึ่งปัจจุบันเรียกว่ากรุปลี ตามชื่อของเขา) สามารถทำความเข้าใจได้ดียิ่งขึ้นโดยการ "ทำให้เป็นเชิงเส้น" (linearizing) และศึกษาสนามเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ที่เรียกว่าตัวก่อกำเนิดอนันต์ หรือ infinitesimal generators)
ตัวก่อกำเนิดเหล่านี้อยู่ภายใต้กฎของกรุปที่ถูกทำให้เป็นเชิงเส้น ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าวงเล็บตัวทำสลับที่ (commutator bracket) และมีโครงสร้างที่เรียกว่าพีชคณิตลี (Lie algebra) กรุปลีนั้นคือส่วนสำคัญของกรุปทอพอโลยีที่มีโครงสร้างที่นุ่มนวลซึ่งทำให้สามารถใช้แคลคูลัสมาวิเคราะห์ได้
ทฤษฎีกรุปต่อเนื่องของลีเองในยุคแรกนั้นเรียกว่าลีทรานส์ฟอร์เมชันกรุปเจิร์ม (Lie transformation group germ) โดยลีได้ทำการวิจัยโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเป็นเครื่องมือหลัก และนำผลลัพธ์ไปประยุกต์ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม ในช่วงชีวิตของเขา ผลงานเหล่านี้ยังไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางและสมบูรณ์
3.2. การประยุกต์ใช้และอิทธิพลต่อเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์
ทฤษฎีของลีถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจสมมาตรของสมการเชิงอนุพันธ์ แนวคิดเรื่องสมมาตรต่อเนื่องที่เขาพัฒนาขึ้นได้กลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการจำแนกและแก้ไขปัญหาในสมการเชิงอนุพันธ์หลายประเภท ผลงานของลียังเป็นรากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งเป็นการศึกษาโครงสร้างทางเรขาคณิตโดยใช้แนวคิดจากแคลคูลัส
3.3. อิทธิพลต่อนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังและสาขาที่เกี่ยวข้อง
แม้ว่างานของลีจะยังไม่สมบูรณ์ในช่วงชีวิตของเขา แต่แนวคิดของเขาได้ถูกพัฒนาต่อยอดโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยเฉพาะแฮร์มัน ไวล์และเอลี การ์ต็อง ไวล์ได้นำทฤษฎีกรุปของลีมาใช้ในผลงานของเขาในช่วงปี ค.ศ. 1922 และ ค.ศ. 1923 ทำให้ทฤษฎีนี้เป็นที่รู้จักและได้รับการพัฒนาอย่างกว้างขวาง ปัจจุบันกรุปลีมีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในสาขาวิชาต่างๆ เช่น กลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัม
นอกจากนี้ ลียังเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาของนักศึกษาปริญญาเอกหลายคนที่ต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ ได้แก่ เอลี การ์ต็อง ซึ่งได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งคริสต์ศตวรรษที่ 20, คาซีมีแยช โซราฟสกี (Kazimierz Żorawski) ซึ่งมีผลงานสำคัญในหลายสาขา และฮันส์ เฟรเดริก บลิชเฟลด์ท (Hans Frederick Blichfeldt) ซึ่งมีส่วนร่วมในคณิตศาสตร์หลายแขนง อย่างไรก็ตาม มีการกล่าวกันว่าในบรรดาปรมาจารย์แห่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ผลงานของลีในรายละเอียดนั้น "เป็นที่รู้จักน้อยที่สุดในปัจจุบัน"
3.4. บทบาทในการผลักดันให้เกิดรางวัลอาเบล
ซูฟึส ลี เป็นผู้สนับสนุนอย่างแข็งขันในการจัดตั้งรางวัลอาเบล (Abel Prize) ซึ่งเป็นรางวัลอันทรงเกียรติสำหรับนักคณิตศาสตร์ โดยเขาได้รับแรงบันดาลใจจากกองทุนนันเซิน (Nansen fund) ซึ่งตั้งชื่อตามฟริตจอฟ นันเซิน (Fridtjof Nansen) และการที่ไม่มีรางวัลสำหรับสาขาคณิตศาสตร์ในรางวัลโนเบล ลีได้รวบรวมการสนับสนุนเพื่อก่อตั้งรางวัลสำหรับผลงานโดดเด่นในสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เพื่อเชิดชูเกียรตินักคณิตศาสตร์ให้ทัดเทียมกับสาขาวิชาอื่น ๆ ที่มีรางวัลโนเบลรองรับ
4. ผลงานตีพิมพ์สำคัญ
มาริยึส ซูฟึส ลีได้เขียนและร่วมเขียนหนังสือวิชาการและบทความสำคัญหลายเล่มที่วางรากฐานให้กับทฤษฎีสมมาตรต่อเนื่องและกรุปลี ผลงานเหล่านี้ส่วนใหญ่เขียนเป็นภาษาเยอรมัน:
- Theorie der Transformationsgruppen I (ทฤษฎีของกรุปการแปลง เล่ม 1), ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ B. G. Teubner, ค.ศ. 1888 ร่วมเขียนกับฟรีดริช เอ็งเงิล
- Theorie der Transformationsgruppen II (ทฤษฎีของกรุปการแปลง เล่ม 2), ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ B. G. Teubner, ค.ศ. 1890 ร่วมเขียนกับฟรีดริช เอ็งเงิล
- Vorlesungen über differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen transformationen (การบรรยายว่าด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีการแปลงอนันต์เล็กน้อยที่รู้จัก), ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ B. G. Teubner, ค.ศ. 1891 ร่วมเขียนกับเกออร์ก แชฟเฟอร์ส (Georg Scheffers)
- Vorlesungen über continuierliche Gruppen (การบรรยายว่าด้วยกรุปต่อเนื่อง), ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ B. G. Teubner, ค.ศ. 1893 ร่วมเขียนกับเกออร์ก แชฟเฟอร์ส
- Theorie der Transformationsgruppen III (ทฤษฎีของกรุปการแปลง เล่ม 3), ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ B. G. Teubner, ค.ศ. 1893 ร่วมเขียนกับฟรีดริช เอ็งเงิล
- Geometrie der Berührungstransformationen (เรขาคณิตของการแปลงสัมผัส), ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ B. G. Teubner, ค.ศ. 1896 ร่วมเขียนกับเกออร์ก แชฟเฟอร์ส
- Gesammelte Abhandlungen (ผลงานรวม), 7 เล่ม, ไลพ์ซิก, สำนักพิมพ์ Teubner, ตีพิมพ์ระหว่างปี ค.ศ. 1922-1960 แก้ไขโดยฟรีดริช เอ็งเงิลและเพาล์ เฮการ์ด (Poul Heegaard)
หนังสือเหล่านี้เป็นผลงานชิ้นเอกของลีที่รวบรวมทฤษฎีสำคัญเกี่ยวกับการแปลงกรุป และมีอิทธิพลอย่างมากต่อคณิตศาสตร์ยุคใหม่
5. ผลกระทบและการประเมิน
มาริยึส ซูฟึส ลี ได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 19 ซึ่งผลงานของเขามีผลกระทบอย่างลึกซึ้งและยั่งยืนต่อสาขาวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ แม้ว่าแนวคิดเรื่องกรุปลีและพีชคณิตลีจะไม่ได้ถูกทำความเข้าใจหรือยอมรับอย่างเต็มที่ในช่วงชีวิตของเขา แต่ความกล้าหาญในการคิดและวิสัยทัศน์ของเขาได้วางรากฐานสำคัญสำหรับการพัฒนาที่สำคัญในศตวรรษต่อมา
คุณูปการที่สำคัญที่สุดของลีคือการสร้างทฤษฎีที่ทำให้เราสามารถศึกษาสมมาตรต่อเนื่องได้อย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการ "ทำให้กรุปการแปลงเป็นเชิงเส้น" เพื่อวิเคราะห์ผ่านตัวก่อกำเนิดอนันต์ ซึ่งเป็นแนวคิดที่พลิกโฉมการทำความเข้าใจเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีของเขาไม่เพียงแต่ให้เครื่องมือใหม่ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ แต่ยังเปิดประตูสู่สาขาใหม่ๆ เช่น เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และกลายเป็นภาษาพื้นฐานในการอธิบายปรากฏการณ์ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี โดยเฉพาะในกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัม
การที่แฮร์มัน ไวล์และเอลี การ์ต็อง รวมถึงนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ต่อยอดงานของลีในศตวรรษที่ 20 เป็นเครื่องยืนยันถึงความสำคัญและศักยภาพของแนวคิดที่เขาบุกเบิก กรุปลีและพีชคณิตลีได้กลายเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ในหลายแขนงของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ ตั้งแต่ทฤษฎีจำนวนไปจนถึงฟิสิกส์อนุภาค
นอกเหนือจากผลงานทางวิชาการแล้ว บทบาทของลีในการริเริ่มและสนับสนุนการก่อตั้งรางวัลอาเบลยังแสดงให้เห็นถึงความห่วงใยและความมุ่งมั่นของเขาในการส่งเสริมวงการคณิตศาสตร์ในภาพรวม รางวัลนี้ได้กลายเป็นรางวัลอันทรงเกียรติระดับโลกที่มอบให้กับนักคณิตศาสตร์ผู้สร้างผลงานโดดเด่น ซึ่งสะท้อนถึงวิสัยทัศน์ของลีในการยกย่องและให้คุณค่าแก่ความรู้ทางคณิตศาสตร์
โดยรวมแล้ว มาริยึส ซูฟึส ลี เป็นนักคณิตศาสตร์ที่เปี่ยมด้วยนวัตกรรม ผู้ได้ทิ้งมรดกทางความคิดอันยิ่งใหญ่ไว้เบื้องหลัง และเป็นแรงบันดาลใจให้นักวิจัยรุ่นหลังได้สำรวจความงามและความซับซ้อนของสมมาตรในจักรวาลแห่งคณิตศาสตร์