ก็อทโลพ เฟรเกอ

2.1. วัยเด็กและภูมิหลัง

เฟรเกอเกิดเมื่อวันที่ 8 พฤศจิกายน ค.ศ. 1848 ที่เมือง วิสมาร์ ใน แกรนด์ดัชชีเมคเลินบวร์ค-ชเวรีน (ปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของ เมคเลินบวร์ค-ฟอร์พอมเมิร์น ประเทศเยอรมนี) บิดาของเขาคือ คาร์ล (คาร์ล) อเล็กซานเดอร์ เฟรเกอ (ค.ศ. 1809-1866) เป็นผู้ร่วมก่อตั้งและอาจารย์ใหญ่ของโรงเรียนมัธยมหญิงจนกระทั่งเสียชีวิต หลังจากบิดาเสียชีวิต มารดาของเฟรเกอคือ ออกุสเตอ วิลเฮ็ล์มมีเนอ โซฟี เฟรเกอ (สกุลเดิม บีอัลโลบลอตสกี, ค.ศ. 1815-1898) ซึ่งมีเชื้อสาย โปแลนด์ ได้เข้ามาบริหารโรงเรียนต่อ

ในวัยเด็ก เฟรเกอได้สัมผัสกับปรัชญาที่จะนำทางอาชีพทางวิทยาศาสตร์ในอนาคตของเขา ตัวอย่างเช่น บิดาของเขาได้เขียนตำราภาษาเยอรมันสำหรับเด็กอายุ 9-13 ปี ชื่อ Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (หนังสือช่วยสอนภาษาเยอรมันสำหรับเด็กอายุ 9 ถึง 13 ปี) ซึ่งส่วนแรกของหนังสือเล่มนี้กล่าวถึงโครงสร้างและตรรกะของภาษา

เฟรเกอเข้าศึกษาที่โรงเรียนมัธยม Große Stadtschule Wismar และสำเร็จการศึกษาในปี ค.ศ. 1869 ครูสอนคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติของเขาคือ กุสตาฟ อดอล์ฟ เลโอ ซัคเซอ (ค.ศ. 1843-1909) ซึ่งเป็นกวีด้วย มีบทบาทสำคัญในการกำหนดเส้นทางอาชีพทางวิทยาศาสตร์ในอนาคตของเฟรเกอ โดยสนับสนุนให้เขาสานต่อการศึกษาที่ มหาวิทยาลัยเยนา ซึ่งเป็นสถาบันที่ซัคเซอเคยศึกษามาก่อน

2.2. การศึกษา

เฟรเกอเข้าศึกษาที่ มหาวิทยาลัยเยนา ในฤดูใบไม้ผลิปี ค.ศ. 1869 ในฐานะพลเมืองของ สมาพันธรัฐเยอรมันเหนือ ในช่วงสี่ภาคการศึกษาของการศึกษา เขาได้เข้าเรียนประมาณ 20 หลักสูตร ส่วนใหญ่เป็นวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ อาจารย์ที่สำคัญที่สุดของเขาคือ แอนสท์ คาร์ล อับเบอ (ค.ศ. 1840-1905) ซึ่งเป็นนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ และนักประดิษฐ์ อับเบอได้บรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีแรงโน้มถ่วง, ไฟฟ้ากัลวานิกและไฟฟ้าพลศาสตร์, ทฤษฎีฟังก์ชันเชิงซ้อน, การประยุกต์ใช้ฟิสิกส์, แขนงที่เลือกสรรของกลศาสตร์ และกลศาสตร์ของของแข็ง อับเบอเป็นมากกว่าครูสำหรับเฟรเกอ: เขาเป็นเพื่อนที่ไว้ใจได้ และในฐานะผู้อำนวยการของบริษัทผลิตเลนส์ Carl Zeiss AG เขามีตำแหน่งที่สามารถส่งเสริมอาชีพของเฟรเกอได้ หลังจากเฟรเกอสำเร็จการศึกษา พวกเขาก็มีการติดต่อกันอย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้น

อาจารย์มหาวิทยาลัยคนอื่นๆ ที่โดดเด่นของเขา ได้แก่ คริสเตียน ฟิลิป คาร์ล สเนลล์ (ค.ศ. 1806-1886) ซึ่งสอนวิชาการใช้การวิเคราะห์อนันต์ในเรขาคณิต, เรขาคณิตวิเคราะห์ของระนาบ, กลศาสตร์วิเคราะห์, ทัศนศาสตร์, พื้นฐานทางฟิสิกส์ของกลศาสตร์; แฮร์มันน์ คาร์ล ยูลิอุส เทราโกท ชาฟเฟอร์ (ค.ศ. 1824-1900) ซึ่งสอนเรขาคณิตวิเคราะห์, ฟิสิกส์ประยุกต์, การวิเคราะห์เชิงพีชคณิต, โทรเลขและเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์อื่นๆ; และนักปรัชญา คูโน ฟิชเชอร์ (ค.ศ. 1824-1907) ซึ่งสอนปรัชญา คานต์ และปรัชญาเชิงวิพากษ์

ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1871 เฟรเกอได้ศึกษาต่อที่ มหาวิทยาลัยเกิททิงเงิน ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยชั้นนำด้านคณิตศาสตร์ในกลุ่มประเทศที่ใช้ภาษาเยอรมัน ที่นั่นเขาได้เข้าฟังการบรรยายของ รูดอล์ฟ ฟรีดริช อัลเฟรด เคล็บช์ (ค.ศ. 1833-1872) ซึ่งสอนเรขาคณิตวิเคราะห์; แอนสท์ คริสเตียน ยูลิอุส เชริง (ค.ศ. 1824-1897) ซึ่งสอนทฤษฎีฟังก์ชัน; วิลเฮ็ล์ม เอดูอาร์ด เวเบอร์ (ค.ศ. 1804-1891) ซึ่งสอนการศึกษาทางฟิสิกส์, ฟิสิกส์ประยุกต์; เอดูอาร์ด รีคเคอ (ค.ศ. 1845-1915) ซึ่งสอนทฤษฎีไฟฟ้า; และ แฮร์มันน์ ลอทเซอ (ค.ศ. 1817-1881) ซึ่งสอนปรัชญาศาสนา หลักคำสอนทางปรัชญาหลายอย่างของเฟรเกอในวัยผู้ใหญ่มีความคล้ายคลึงกับของลอทเซอ ซึ่งเป็นประเด็นถกเถียงทางวิชาการว่ามีการอิทธิพลโดยตรงต่อมุมมองของเฟรเกอจากการเข้าร่วมการบรรยายของลอทเซอหรือไม่

ในปี ค.ศ. 1873 เฟรเกอได้รับปริญญาเอกภายใต้การดูแลของ แอนสท์ คริสเตียน ยูลิอุส เชริง ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" ("เกี่ยวกับการนำเสนอเชิงเรขาคณิตของรูปทรงจินตภาพในระนาบ") ซึ่งเขามุ่งมั่นที่จะแก้ปัญหาพื้นฐานในเรขาคณิต เช่น การตีความทางคณิตศาสตร์ของจุดอนันต์ (จินตภาพ) ใน เรขาคณิตเชิงภาพฉาย

2.3. การแต่งงานและครอบครัว

เฟรเกอแต่งงานกับ มาร์กาเรเทอ คาทารีนา โซเฟีย อันนา ลีเซอเบิร์ก (ค.ศ. 1856-1904) เมื่อวันที่ 14 มีนาคม ค.ศ. 1887 ทั้งคู่มีบุตรอย่างน้อยสองคนซึ่งเสียชีวิตตั้งแต่ยังเด็ก หลายปีต่อมาพวกเขารับบุตรบุญธรรมคนหนึ่งชื่อ อัลเฟรด อย่างไรก็ตาม มีข้อมูลเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับชีวิตครอบครัวของเฟรเกอ

2.4. อาชีพทางวิชาการ

ในปี ค.ศ. 1874 เฟรเกอสำเร็จการทำ Habilitation ที่มหาวิทยาลัยเยนา และได้เป็นPrivatdozent_{พรีวาตโดเซ็นต์}^{ภาษาเยอรมัน} ในปี ค.ศ. 1879 เขาได้รับการแต่งตั้งเป็นAusserordentlicher Professor_{เอาส์เซอร์ออร์เด็นท์ลิชเชอร์ โพรเฟสเซอร์}^{ภาษาเยอรมัน} ที่มหาวิทยาลัยเยนา และในปี ค.ศ. 1896 ได้รับการเลื่อนตำแหน่งเป็นOrdentlicher Honorarprofessor_{ออร์เด็นท์ลิชเชอร์ โฮโนราร์โพรเฟสเซอร์}^{ภาษาเยอรมัน} ที่มหาวิทยาลัยเดียวกัน เขาเกษียณอายุจากมหาวิทยาลัยเยนาในปี ค.ศ. 1918 และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 26 กรกฎาคม ค.ศ. 1925 ที่ บาทไคลเนิน (ปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของ เมคเลินบวร์ค-ฟอร์พอมเมิร์น)

3.1. Begriffsschrift และรากฐานของตรรกศาสตร์สมัยใหม่

หนังสือ Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (ค.ศ. 1879) ซึ่งแปลว่า "แนวคิด-สคริปต์: ภาษาที่เป็นทางการสำหรับความคิดบริสุทธิ์ที่จำลองมาจากภาษาเลขคณิต" ถือเป็นจุดเปลี่ยนในประวัติศาสตร์ของตรรกศาสตร์ Begriffsschrift ได้บุกเบิกแนวคิดใหม่ๆ รวมถึงการจัดการอย่างเข้มงวดเกี่ยวกับแนวคิดของ ฟังก์ชัน และ ตัวแปร

เฟรเกอได้คิดค้น ตรรกศาสตร์ภาคแสดงเชิงสัจพจน์ โดยส่วนใหญ่เป็นผลมาจากการประดิษฐ์ ตัวแปรเชิงปริมาณ ซึ่งในที่สุดก็กลายเป็นสิ่งที่แพร่หลายใน คณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์ และช่วยแก้ ปัญหาการทั่วไปหลายระดับ ตรรกศาสตร์ก่อนหน้านี้ได้จัดการกับ ค่าคงที่เชิงตรรกะ เช่น 'และ', 'หรือ', 'ถ้า...แล้ว...', 'ไม่', 'บางส่วน' และ 'ทั้งหมด' แต่การทำซ้ำของการดำเนินการเหล่านี้ โดยเฉพาะ 'บางส่วน' และ 'ทั้งหมด' ยังไม่เป็นที่เข้าใจนัก แม้แต่ความแตกต่างระหว่างประโยคเช่น "เด็กผู้ชายทุกคนรักเด็กผู้หญิงบางคน" กับ "เด็กผู้หญิงบางคนเป็นที่รักของเด็กผู้ชายทุกคน" ก็สามารถแสดงได้เพียงอย่างประดิษฐ์เท่านั้น ในขณะที่รูปแบบของเฟรเกอไม่มีปัญหาในการแสดงความหมายที่แตกต่างกันของ "เด็กผู้ชายทุกคนรักเด็กผู้หญิงบางคนที่รักเด็กผู้ชายบางคนที่รักเด็กผู้หญิงบางคน" และประโยคที่คล้ายกัน ซึ่งขนานไปกับการจัดการของเขา เช่น "เด็กผู้ชายทุกคนโง่"

ตัวอย่างที่มักถูกกล่าวถึงคือ ตรรกศาสตร์ของ อริสโตเติล ไม่สามารถแสดงข้อความทางคณิตศาสตร์เช่น ทฤษฎีบทของยุคลิด ซึ่งเป็นข้อความพื้นฐานของทฤษฎีจำนวนที่ระบุว่ามี จำนวนเฉพาะ เป็นอนันต์ อย่างไรก็ตาม "สัญกรณ์เชิงแนวคิด" ของเฟรเกอสามารถแสดงการอนุมานดังกล่าวได้ การวิเคราะห์แนวคิดเชิงตรรกะและกลไกของการจัดรูปแบบที่เป็นทางการซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ Principia Mathematica (3 เล่ม, ค.ศ. 1910-1913, โดย เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ และ อัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮด), สำหรับ ทฤษฎีการอธิบายของรัสเซลล์, สำหรับ ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ของ เคิร์ท เกอเดล (ค.ศ. 1906-1978) และสำหรับทฤษฎีความจริงของ อัลเฟรด ทาร์สกี้ (ค.ศ. 1901-1983) ล้วนมีที่มาจากเฟรเกอ

เฟรเกอได้นำเสนอสัญกรณ์ที่เป็นนวัตกรรมใหม่ใน Begriffsschrift เพื่อแสดงแนวคิดเชิงตรรกะได้อย่างแม่นยำ ดังแสดงในตารางด้านล่าง:

แนวคิด	สัญกรณ์ใน Begriffsschrift	สัญกรณ์สมัยใหม่
การปฏิเสธ		¬A
การบ่งชี้		B → A
ตัวบ่งปริมาณทั่วถึง		∀x: F(x)
ตัวบ่งปริมาณมีอยู่		∃x: F(x)
สมมูลเชิงตรรกะ	A ≡ B	A ↔ B

จุดประสงค์หนึ่งของเฟรเกอคือการแยกหลักการอนุมานเชิงตรรกะที่แท้จริง เพื่อให้ในการนำเสนอการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเหมาะสม จะไม่มีการอ้างถึง "สัญชาตญาณ" เลย หากมีองค์ประกอบที่เป็นสัญชาตญาณ ก็จะต้องแยกออกมาและแสดงแยกต่างหากเป็นสัจพจน์ จากนั้นการพิสูจน์จะเป็นไปตามตรรกะอย่างบริสุทธิ์และไม่มีช่องว่าง เมื่อแสดงความเป็นไปได้นี้แล้ว จุดประสงค์ที่ใหญ่กว่าของเฟรเกอคือการปกป้องมุมมองที่ว่า เลขคณิต เป็นสาขาหนึ่งของตรรกศาสตร์ ซึ่งเป็นมุมมองที่เรียกว่า ลอจิซิซึม ซึ่งแตกต่างจากเรขาคณิต เลขคณิตจะต้องแสดงให้เห็นว่าไม่มีพื้นฐานใน "สัญชาตญาณ" และไม่จำเป็นต้องมีสัจพจน์ที่ไม่ใช่ตรรกะแล้ว ใน Begriffsschrift ปี ค.ศ. 1879 ทฤษฎีบทเบื้องต้นที่สำคัญ เช่น รูปแบบทั่วไปของ กฎไตรวิภาค ก็ได้ถูกอนุมานขึ้นภายในสิ่งที่เฟรเกอเข้าใจว่าเป็นตรรกะบริสุทธิ์

3.2. ลอจิซิซึม (Logicism) และ Die Grundlagen der Arithmetik

แนวคิดนี้ได้รับการกำหนดในแง่ที่ไม่ใช่สัญลักษณ์ในหนังสือ The Foundations of Arithmetic (Die Grundlagen der Arithmetik_{ดี กรูนท์เกเซทเซอ แดร์ อาริทเมติค}^{ภาษาเยอรมัน}, ค.ศ. 1884) ซึ่งมีความหมายว่า "รากฐานของเลขคณิต: การสอบสวนเชิงตรรกะ-คณิตศาสตร์เกี่ยวกับแนวคิดของจำนวน" ในหนังสือเล่มนี้ เฟรเกอได้วิพากษ์วิจารณ์แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนที่อิงpsychologism_{จิตวิทยา}^{ภาษาอังกฤษ}อย่างรุนแรง โดยยืนยันว่าแนวคิดของจำนวนไม่ควรถูกอธิบายด้วยกระบวนการทางจิตวิทยา แต่ควรมีพื้นฐานมาจากตรรกศาสตร์ เขามุ่งมั่นที่จะนิยามจำนวนเชิงตรรกะและแสดงให้เห็นว่าหลักการทางเลขคณิตสามารถอนุมานได้จากหลักการทางตรรกะเพียงอย่างเดียว

3.3. Grundgesetze der Arithmetik และโครงการลอจิซิซึม

ต่อมาในหนังสือ Basic Laws of Arithmetic (Grundgesetze der Arithmetik_{กรูนท์เกเซทเซอ แดร์ อาริทเมติค}^{ภาษาเยอรมัน}, เล่ม 1, ค.ศ. 1893; เล่ม 2, ค.ศ. 1903; เล่ม 2 ตีพิมพ์ด้วยค่าใช้จ่ายของเขาเอง) เฟรเกอพยายามที่จะอนุมานกฎทั้งหมดของเลขคณิตโดยใช้สัญลักษณ์ของเขาจากสัจพจน์ที่เขาอ้างว่าเป็นตรรกะ สัจพจน์ส่วนใหญ่เหล่านี้มาจาก Begriffsschrift ของเขา แม้ว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญบางประการ หลักการใหม่เพียงอย่างเดียวคือสิ่งที่เขาเรียกว่า กฎพื้นฐานข้อที่ 5 (Basic Law V): "ขอบเขตค่า" ของฟังก์ชัน f(x) จะเหมือนกับ "ขอบเขตค่า" ของฟังก์ชัน g(x) ก็ต่อเมื่อ ∀x[f(x) = g(x)].

กรณีสำคัญของกฎนี้สามารถกำหนดในสัญกรณ์สมัยใหม่ได้ดังนี้: ให้ {x|Fx} หมายถึง ส่วนขยาย ของ ภาคแสดง Fx นั่นคือ เซตของ Fs ทั้งหมด และในทำนองเดียวกันสำหรับ Gx จากนั้นกฎพื้นฐานข้อที่ 5 กล่าวว่าภาคแสดง Fx และ Gx มีส่วนขยายเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ ∀x[Fx ↔ Gx] เซตของ Fs จะเหมือนกับเซตของ Gs ก็ต่อเมื่อทุก F เป็น G และทุก G เป็น F (กรณีนี้พิเศษเนื่องจากสิ่งที่เรียกว่าส่วนขยายของภาคแสดง หรือเซต เป็นเพียงประเภทหนึ่งของ "ขอบเขตค่า" ของฟังก์ชัน)

ในเหตุการณ์อันโด่งดัง เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ ได้เขียนจดหมายถึงเฟรเกอ ขณะที่เล่ม 2 ของ Grundgesetze กำลังจะเข้าโรงพิมพ์ในปี ค.ศ. 1903 โดยแสดงให้เห็นว่า พาราด็อกซ์ของรัสเซลล์ สามารถอนุมานได้จากกฎพื้นฐานข้อที่ 5 ของเฟรเกอ เป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิกของเซตหรือส่วนขยายในระบบของเฟรเกอ จากนั้นรัสเซลล์ได้ดึงความสนใจไปที่ "เซตของสิ่ง x ที่ x ไม่ใช่สมาชิกของ x" ระบบของ Grundgesetze บ่งชี้ว่าเซตที่กำหนดลักษณะนี้ เป็น และ ไม่เป็น สมาชิกของตัวเอง และดังนั้นจึงไม่สอดคล้องกัน เฟรเกอได้เขียนภาคผนวกอย่างเร่งด่วนในนาทีสุดท้ายสำหรับเล่ม 2 โดยอนุมานความขัดแย้งและเสนอให้กำจัดมันโดยการปรับเปลี่ยนกฎพื้นฐานข้อที่ 5 เฟรเกอเปิดภาคผนวกด้วยความคิดเห็นที่ซื่อสัตย์เป็นพิเศษ: "แทบจะไม่มีอะไรที่โชคร้ายไปกว่านี้จะเกิดขึ้นกับนักเขียนทางวิทยาศาสตร์ได้อีกแล้ว นอกจากการที่รากฐานหนึ่งของโครงสร้างของเขาถูกสั่นคลอนหลังจากงานเสร็จสิ้นลง นี่คือสถานการณ์ที่ผมถูกวางไว้โดยจดหมายของมิสเตอร์เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ ในขณะที่การพิมพ์เล่มนี้ใกล้จะเสร็จสมบูรณ์"

แนวทางแก้ไขที่เฟรเกอเสนอในภายหลังได้แสดงให้เห็นว่ามันบ่งชี้ว่ามีวัตถุเพียงชิ้นเดียวใน เอกภพของการอภิปราย และดังนั้นจึงไร้ค่า แต่ผลงานล่าสุดได้แสดงให้เห็นว่าโครงการส่วนใหญ่ของ Grundgesetze อาจได้รับการกอบกู้ในวิธีอื่น:

• กฎพื้นฐานข้อที่ 5 สามารถอ่อนลงได้ในวิธีอื่น วิธีที่รู้จักกันดีที่สุดคือของนักปรัชญาและนักตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ จอร์จ บูลอส (ค.ศ. 1940-1996) ซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญในผลงานของเฟรเกอ "แนวคิด" F มีขนาด "เล็ก" หากวัตถุที่อยู่ภายใต้ F ไม่สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเอกภพของการอภิปรายได้ นั่นคือ เว้นแต่: ∃R[R เป็น 1-ต่อ-1 & ∀x∃y(xRy & Fy)]. ตอนนี้ลด V เป็น V*: "แนวคิด" F และ "แนวคิด" G มี "ส่วนขยาย" เดียวกันก็ต่อเมื่อทั้ง F หรือ G ไม่เล็ก หรือ ∀x(Fx ↔ Gx). V* สอดคล้องกันหาก เลขคณิตลำดับที่สอง สอดคล้องกัน และเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจพจน์ของเลขคณิตลำดับที่สอง
• กฎพื้นฐานข้อที่ 5 สามารถถูกแทนที่ด้วย หลักการของฮูม ซึ่งกล่าวว่าจำนวนของ Fs จะเท่ากับจำนวนของ Gs ก็ต่อเมื่อ Fs สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ Gs ได้ หลักการนี้ก็สอดคล้องกันหากเลขคณิตลำดับที่สองสอดคล้องกัน และเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจพจน์ของเลขคณิตลำดับที่สอง ผลลัพธ์นี้เรียกว่า ทฤษฎีบทของเฟรเกอ เนื่องจากมีการสังเกตว่าในการพัฒนาเลขคณิต การใช้กฎพื้นฐานข้อที่ 5 ของเฟรเกอจำกัดอยู่เพียงการพิสูจน์หลักการของฮูม ซึ่งจากหลักการนี้เองที่หลักการทางเลขคณิตถูกอนุมานขึ้น
• ตรรกศาสตร์ของเฟรเกอ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ตรรกศาสตร์ลำดับที่สอง สามารถอ่อนลงเป็นตรรกศาสตร์ลำดับที่สองที่เรียกว่า ตรรกศาสตร์เชิงทำนาย ตรรกศาสตร์ลำดับที่สองเชิงทำนายบวกกับกฎพื้นฐานข้อที่ 5 สามารถพิสูจน์ได้ว่าสอดคล้องกันโดยวิธีการ ฟินิติซึม หรือ คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ แต่สามารถตีความได้เพียงส่วนเล็กๆ ของเลขคณิตเท่านั้น

3.4. อิทธิพลต่อตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์

ผลงานของเฟรเกอในด้านตรรกศาสตร์ได้รับความสนใจจากนานาชาติน้อยมากจนกระทั่งปี ค.ศ. 1903 เมื่อรัสเซลล์เขียนภาคผนวกในหนังสือ The Principles of Mathematics โดยระบุความแตกต่างของเขากับเฟรเกอ สัญกรณ์แผนภาพที่เฟรเกอใช้ไม่มีต้นแบบมาก่อน (และไม่มีผู้เลียนแบบตั้งแต่นั้นมา) ยิ่งไปกว่านั้น จนกระทั่ง Principia Mathematica (3 เล่ม) ของรัสเซลล์และไวท์เฮดปรากฏขึ้นในปี ค.ศ. 1910-1913 แนวทางที่โดดเด่นใน ตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ ยังคงเป็นของ จอร์จ บูล (ค.ศ. 1815-1864) และผู้สืบทอดทางปัญญาของเขา โดยเฉพาะ แอนสท์ ชโรเดอร์ (ค.ศ. 1841-1902) อย่างไรก็ตาม แนวคิดเชิงตรรกะของเฟรเกอได้แพร่กระจายผ่านงานเขียนของลูกศิษย์ของเขา รูดอล์ฟ คาร์แนป (ค.ศ. 1891-1970) และผู้ชื่นชมคนอื่นๆ โดยเฉพาะ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ และ ลุดวิก วิทท์เกนสไตน์ (ค.ศ. 1889-1951)

4.1. Sinn und Bedeutung (ความหมายและการอ้างอิง)

บทความของเฟรเกอในปี ค.ศ. 1892 เรื่อง "On Sense and Reference" ("Über Sinn und Bedeutung_{อือเบอร์ ซินน์ อุนด์ เบอโดทุง}^{ภาษาเยอรมัน}") ได้นำเสนอการแยกแยะที่มีอิทธิพลของเขาระหว่าง 'ความหมาย' (Sinn_{ซินน์}^{ภาษาเยอรมัน}) และ 'การอ้างอิง' (Bedeutung_{เบอโดทุง}^{ภาษาเยอรมัน} ซึ่งได้รับการแปลว่า "meaning_{ความหมาย}^{ภาษาอังกฤษ}" หรือ "denotation_{การอ้างอิง}^{ภาษาอังกฤษ}" ด้วย) ในขณะที่คำอธิบายความหมายแบบดั้งเดิมถือว่าสำนวนมีเพียงลักษณะเดียว (การอ้างอิง) เฟรเกอได้นำเสนอแนวคิดที่ว่าสำนวนมีสองแง่มุมที่แตกต่างกันของความสำคัญ: ความหมายและการอ้างอิงของมัน

'การอ้างอิง' (หรือ "Bedeutung_{เบอโดทุง}^{ภาษาเยอรมัน}") ใช้กับ คำนามเฉพาะ โดยที่สำนวนที่กำหนด (เช่น สำนวน "ทอม") เพียงแค่อ้างถึงเอนทิตีที่ใช้ชื่อนั้น (บุคคลชื่อทอม) เฟรเกอยังถือว่าประพจน์มีความสัมพันธ์เชิงอ้างอิงกับค่าความจริงของมัน (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ข้อความ "อ้างถึง" ค่าความจริงที่มันรับ) ในทางตรงกันข้าม 'ความหมาย' (หรือ "Sinn_{ซินน์}^{ภาษาเยอรมัน}") ที่เกี่ยวข้องกับประโยคที่สมบูรณ์คือความคิดที่มันแสดงออก ความหมายของสำนวนกล่าวกันว่าเป็น "รูปแบบการนำเสนอ" ของรายการที่อ้างถึง และอาจมีรูปแบบการนำเสนอหลายรูปแบบสำหรับผู้ที่ถูกอ้างถึงคนเดียวกัน

ความแตกต่างนี้สามารถอธิบายได้ดังนี้: ในการใช้งานทั่วไป ชื่อ "Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor" ซึ่งสำหรับวัตถุประสงค์เชิงตรรกะเป็นส่วนที่ไม่สามารถวิเคราะห์ได้ทั้งหมด และสำนวนเชิงฟังก์ชัน "กษัตริย์แห่งสหราชอาณาจักร" ซึ่งประกอบด้วยส่วนสำคัญ "กษัตริย์แห่ง ξ" และ "สหราชอาณาจักร" มี ผู้ที่ถูกอ้างถึง คนเดียวกัน นั่นคือบุคคลที่รู้จักกันดีที่สุดในชื่อ สมเด็จพระเจ้าชาลส์ที่ 3 แต่ ความหมาย ของคำว่า "สหราชอาณาจักร" เป็นส่วนหนึ่งของความหมายของสำนวนหลัง แต่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของความหมายของ "ชื่อเต็ม" ของสมเด็จพระเจ้าชาลส์

ความแตกต่างเหล่านี้ถูกโต้แย้งโดย เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ โดยเฉพาะในบทความของเขา "On Denoting" การโต้แย้งยังคงดำเนินต่อไปจนถึงปัจจุบัน โดยได้รับแรงหนุนเป็นพิเศษจากปาฐกถาอันโด่งดังของ ซอล คริปเคอ เรื่อง "Naming and Necessity"

4.2. Begriff und Gegenstand (แนวคิดและวัตถุ)

ในบทความ "Über Begriff und Gegenstand_{อือเบอร์ เบอกริฟฟ์ อุนด์ เกเกินชตานด์}^{ภาษาเยอรมัน}" (ค.ศ. 1892) เฟรเกอได้วิเคราะห์และแยกแยะความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดเชิงตรรกะและวัตถุในความเป็นจริง เขายืนยันว่าแนวคิดเป็นฟังก์ชันที่นำวัตถุไปสู่ค่าความจริง ในขณะที่วัตถุคือสิ่งที่แนวคิดสามารถนำไปใช้ได้ การแยกแยะนี้มีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจโครงสร้างเชิงตรรกะของภาษาและโลก

4.3. แนวคิดทางปรัชญาภาษาอื่นๆ

นอกจากทฤษฎีความหมายและการอ้างอิง และแนวคิดและวัตถุแล้ว เฟรเกอยังได้แนะนำแนวคิดหลักอื่นๆ ในปรัชญาภาษาของเขา เช่น Principle of Compositionality_{หลักการองค์ประกอบ}^{ภาษาอังกฤษ} ซึ่งกล่าวว่าความหมายของประโยคทั้งหมดถูกกำหนดโดยความหมายของส่วนประกอบต่างๆ และวิธีการรวมเข้าด้วยกัน และ Context Principle_{หลักการบริบท}^{ภาษาอังกฤษ} ซึ่งระบุว่าคำศัพท์จะมีความหมายก็ต่อเมื่ออยู่ในบริบทของประโยคทั้งหมดเท่านั้น

5.1. การวิพากษ์จิตวิทยา (Critique of Psychologism)

เฟรเกอได้วิพากษ์วิจารณ์ psychologism_{จิตวิทยา}^{ภาษาอังกฤษ} อย่างรุนแรง ซึ่งเป็นแนวคิดที่พยายามอธิบายเหตุผลทางตรรกะและคณิตศาสตร์ด้วยกระบวนการทางจิตใจ เขาเชื่อว่าตรรกะและคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่เป็นปรนัยและเป็นสากล ไม่ขึ้นอยู่กับความคิดหรือความรู้สึกส่วนบุคคลของมนุษย์ การให้เหตุผลทางตรรกะไม่ควรถูกลดทอนให้เป็นเพียงการทำงานของจิตใจ แต่ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นความจริงที่เป็นอิสระจากจิตวิทยาของแต่ละบุคคล เฟรเกอเน้นย้ำถึงobjectivity_{ความเป็นปรนัย}^{ภาษาอังกฤษ}ของกฎทางตรรกะและคณิตศาสตร์ โดยยืนยันว่ากฎเหล่านี้มีความถูกต้องในตัวเอง ไม่ใช่แค่การสะท้อนถึงวิธีการคิดของมนุษย์

5.2. พลาโตนิซึม (Platonism)

เฟรเกอมีมุมมองแบบ Platonism_{พลาโตนิซึม}^{ภาษาอังกฤษ} หรือ mathematical realism_{สัจนิยมทางคณิตศาสตร์}^{ภาษาอังกฤษ} เกี่ยวกับวัตถุเชิงนามธรรม เช่น จำนวนและประพจน์ เขามองว่าจำนวนและแนวคิดทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ไม่ได้เป็นเพียงแนวคิดในจิตใจของเรา หรือเป็นสัญลักษณ์ที่สร้างขึ้นโดยมนุษย์ แต่เป็นวัตถุที่เป็นปรนัยและมีอยู่จริงในโลกที่เป็นอิสระจากความคิดของเรา คล้ายกับ "โลกของแบบ" ของ เพลโต ในทำนองเดียวกัน ประพจน์หรือ "ความคิด" (Gedanke_{เกอดังเคอ}^{ภาษาเยอรมัน}) ที่แสดงออกโดยประโยคก็มีอยู่จริงในลักษณะที่เป็นปรนัยและไม่ขึ้นกับจิตใจของผู้คิด

5.3. ความคิดเห็นทางการเมืองส่วนบุคคลและข้อถกเเถียง

งานเขียนทางปรัชญาที่ตีพิมพ์ของเฟรเกอมีลักษณะทางเทคนิคสูงและแยกตัวออกจากประเด็นในทางปฏิบัติมาก จนกระทั่ง ไมเคิล ดัมเมตต์ นักวิชาการด้านเฟรเกอแสดงความ "ตกใจเมื่อพบว่า วีรบุรุษของเขาเป็นพวกต่อต้านชาวยิว" หลังจาก การปฏิวัติเยอรมัน ค.ศ. 1918-1919 ความคิดเห็นทางการเมืองของเขาก็รุนแรงขึ้น ในปีสุดท้ายของชีวิตเขา เมื่ออายุ 76 ปี บันทึกประจำวันของเขาประกอบด้วยความคิดเห็นทางการเมืองที่ต่อต้านระบบรัฐสภา, นักประชาธิปไตย, นักเสรีนิยม, ชาวคาทอลิก, ชาวฝรั่งเศส และชาวยิว ซึ่งเขาคิดว่าควรถูกริบสิทธิทางการเมือง และควรถูกขับไล่ออกจากเยอรมนี

เฟรเกอสารภาพว่า "เขาเคยคิดว่าตัวเองเป็นนักเสรีนิยมและเป็นผู้ชื่นชม อ็อทโท ฟ็อน บิสมาร์ค" แต่ต่อมาก็เห็นอกเห็นใจกับนายพล เอริช ลูเดินดอร์ฟ ในบันทึกประจำวันลงวันที่ 5 พฤษภาคม ค.ศ. 1924 เฟรเกอแสดงความเห็นด้วยกับบทความที่ตีพิมพ์ใน Deutschlands Erneuerung ของ ฮิวสตัน สจวร์ต แชมเบอร์เลน ซึ่งยกย่อง อดอล์ฟ ฮิตเลอร์ เฟรเกอได้บันทึกความเชื่อที่ว่าจะเป็นการดีที่สุดหากชาวยิวในเยอรมนี "หายไป หรือจะดีกว่าถ้าหายไปจากเยอรมนี" บันทึกประจำวันดังกล่าวยังมีการวิพากษ์วิจารณ์ การออกเสียงลงคะแนนทั่วไป และ สังคมนิยม

อย่างไรก็ตาม เฟรเกอมีความสัมพันธ์ฉันมิตรกับชาวยิวในชีวิตจริง: ในบรรดาลูกศิษย์ของเขาคือ เกอร์ชอม โชเลม ซึ่งให้ความสำคัญกับการสอนของเขาอย่างมาก และเป็นเขาเองที่สนับสนุน ลุดวิก วิทท์เกนสไตน์ ให้เดินทางไปอังกฤษเพื่อศึกษาต่อกับ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ บันทึกประจำวันปี ค.ศ. 1924 ได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี ค.ศ. 1994

7.1. การถูกเพิกเฉยในระยะแรกและการค้นพบใหม่ในภายหลัง

แม้ว่าเฟรเกอจะได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักตรรกศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดนับตั้งแต่ อริสโตเติล แต่ผลงานของเขาไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในสมัยที่ยังมีชีวิตอยู่ สัญกรณ์แผนภาพที่เฟรเกอใช้ไม่มีต้นแบบมาก่อนและไม่มีผู้เลียนแบบตั้งแต่นั้นมา และจนกระทั่ง Principia Mathematica ของรัสเซลล์และไวท์เฮดปรากฏขึ้นในปี ค.ศ. 1910-1913 แนวทางที่โดดเด่นใน ตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ ยังคงเป็นของ จอร์จ บูล และผู้สืบทอดทางปัญญาของเขา

อย่างไรก็ตาม ผลงานของเขาได้ถูก "ค้นพบใหม่" ในภายหลังโดยนักปรัชญาและนักตรรกศาสตร์รุ่นหลัง เช่น จูเซปเป เปอาโน และ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ ซึ่งได้นำแนวคิดของเขาไปเผยแพร่และพัฒนาต่อยอด ทำให้งานของเฟรเกอกลายเป็นรากฐานสำคัญของ ปรัชญาเชิงวิเคราะห์ และตรรกศาสตร์สมัยใหม่

7.2. อิทธิพลต่อปรัชญาเชิงวิเคราะห์และนักคิดรุ่นหลัง

อิทธิพลของเฟรเกอต่อปรัชญาเชิงวิเคราะห์นั้นชัดเจนและลึกซึ้ง เขาได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งปรัชญาเชิงวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากการที่งานของเขาเกี่ยวกับตรรกศาสตร์และภาษาได้นำไปสู่ "การเปลี่ยนผ่านทางภาษา" ในปรัชญา นักคิดคนสำคัญในยุคหลังหลายคนได้รับอิทธิพลอย่างมากจากเขา ได้แก่ ลุดวิก วิทท์เกนสไตน์ ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของเขา และ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ ซึ่งแม้จะค้นพบข้อบกพร่องในระบบของเฟรเกอ แต่ก็ยังคงยกย่องและนำแนวคิดของเขามาใช้ในงานของตนเอง นอกจากนี้ รูดอล์ฟ คาร์แนป และ เอ็ดมันด์ ฮุสเซอร์ล ก็เป็นนักปรัชญาที่ได้รับอิทธิพลจากเฟรเกอเช่นกัน

7.3. การประเมินลอจิซิซึมใหม่ในปัจจุบัน

โครงการ ลอจิซิซึม ของเฟรเกอ ซึ่งมุ่งมั่นที่จะลดทอนคณิตศาสตร์ให้เป็นตรรกศาสตร์ ได้รับการปรับปรุงแก้ไขและประเมินใหม่ในตรรกศาสตร์สมัยใหม่ หลังจาก พาราด็อกซ์ของรัสเซลล์ ถูกค้นพบและทำให้ระบบเดิมของเฟรเกอไม่สอดคล้องกัน นักวิชาการหลายคนได้พยายามหาวิธีที่จะกอบกู้โครงการนี้ ตัวอย่างเช่น จอร์จ บูลอส ได้เสนอการลดทอนกฎพื้นฐานข้อที่ 5 ของเฟรเกอ และมีการศึกษาการใช้ หลักการของฮูม แทน ซึ่งนำไปสู่ ทฤษฎีบทของเฟรเกอ ที่แสดงให้เห็นว่าเลขคณิตสามารถอนุมานได้จากหลักการเชิงตรรกะที่อ่อนกว่า แม้ว่าโครงการเดิมของเขาจะล้มเหลวในแง่ของความสอดคล้อง แต่ความพยายามของเฟรเกอได้กระตุ้นให้เกิดการวิจัยอย่างเข้มข้นในด้านรากฐานของคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ ซึ่งยังคงดำเนินต่อไปจนถึงปัจจุบัน