1. ชีวิต
คริสโตเฟลเกิดในครอบครัวพ่อค้าผ้าและได้รับการศึกษาเบื้องต้นที่บ้าน ก่อนจะเข้าศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของอาชีพทางวิชาการอันยาวนานของเขา
1.1. การเกิดและช่วงต้นของชีวิต
คริสโตเฟลเกิดเมื่อวันที่ 10 พฤศจิกายน ค.ศ. 1829 ที่เมืองมอนโจอี (ปัจจุบันคือมอนเชา) ในราชอาณาจักรปรัสเซีย ครอบครัวของเขาเป็นพ่อค้าผ้า เขาได้รับการศึกษาเบื้องต้นที่บ้านในด้านภาษาและคณิตศาสตร์ จากนั้นจึงเข้าเรียนที่โรงเรียนมัธยมเยซูอิต (Jesuit Gymnasium) และโรงเรียนมัธยมฟรีดริช-วิลเฮล์ม (Friedrich-Wilhelms Gymnasium) ในเมืองโคโลญ
1.2. การศึกษาและปริญญาเอก
ในปี ค.ศ. 1850 เขาเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยฮุมโบลด์ทแห่งเบอร์ลิน โดยศึกษาคณิตศาสตร์กับเพเทอร์ กุสตาฟ เลอเฌิน ดีริชเลต์ ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากต่อเขา นอกจากนี้ เขายังเข้าเรียนวิชาฟิสิกส์และเคมีด้วย ในปี ค.ศ. 1856 เขาได้รับปริญญาเอกที่เบอร์ลินจากวิทยานิพนธ์เรื่องการเคลื่อนที่ของไฟฟ้าในวัตถุเนื้อเดียวกัน โดยมีมาร์ติน โอม (น้องชายของเกออร์ค ซีม็อน โอม) แอนสท์ คุมเมอร์ และไฮน์ริช กุสตาฟ แมกนัส เป็นผู้ควบคุมวิทยานิพนธ์
หลังจากได้รับปริญญาเอก คริสโตเฟลกลับไปยังมอนโจอีและใช้เวลาสามปีต่อมาอย่างโดดเดี่ยวจากวงการวิชาการ อย่างไรก็ตาม เขายังคงศึกษาคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์) จากหนังสือของแบร์นฮาร์ท รีมันน์ ดีริชเลต์ และออกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี เขายังคงทำการวิจัยและตีพิมพ์บทความสองชิ้นเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
1.3. อาชีพทางวิชาการ
ในปี ค.ศ. 1859 คริสโตเฟลกลับมายังเบอร์ลินและได้รับคุณวุฒิฮาบิลิเทชัน (habilitation) และกลายเป็นอาจารย์พิเศษ (Privatdozent) ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ในปี ค.ศ. 1862 เขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นศาสตราจารย์ที่เอเทฮ ซือริช (ETH Zürich) ในตำแหน่งที่ว่างลงโดยริชาร์ด เดเดคินด์ เขาได้จัดตั้งสถาบันคณิตศาสตร์แห่งใหม่ขึ้นที่สถาบันอายุน้อยแห่งนี้ (ซึ่งก่อตั้งขึ้นเพียงเจ็ดปีก่อนหน้านั้น) และได้รับการยกย่องอย่างสูง เขายังคงตีพิมพ์ผลงานวิจัย และในปี ค.ศ. 1868 เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกสมทบของสถาบันวิทยาศาสตร์ปรัสเซีย และของ Istituto Lombardo ในมิลาน
ในปี ค.ศ. 1869 คริสโตเฟลกลับมายังเบอร์ลินในฐานะศาสตราจารย์ที่ Gewerbeakademie (ปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของมหาวิทยาลัยเทคนิคเบอร์ลิน) โดยมีแฮร์มัน ชวาร์ซ เข้ามารับตำแหน่งต่อจากเขาที่ซือริช อย่างไรก็ตาม การแข่งขันที่รุนแรงจากมหาวิทยาลัยเบอร์ลินที่อยู่ใกล้เคียง ทำให้ Gewerbeakademie ไม่สามารถดึงดูดนักศึกษาได้เพียงพอที่จะรักษารายวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงไว้ได้ และคริสโตเฟลจึงออกจากเบอร์ลินอีกครั้งหลังจากสามปี
ในปี ค.ศ. 1872 คริสโตเฟลได้เป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยสทราซบูร์ ซึ่งเป็นสถาบันเก่าแก่หลายศตวรรษที่กำลังได้รับการจัดระเบียบใหม่ให้เป็นมหาวิทยาลัยสมัยใหม่หลังจากการผนวกอาลซัส-ลอแรนของปรัสเซียในสงครามฝรั่งเศส-ปรัสเซีย คริสโตเฟลร่วมกับเพื่อนร่วมงานของเขา เทโอดอร์ เรเย ได้สร้างภาควิชาคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงขึ้นที่สทราซบูร์ เขายังคงตีพิมพ์ผลงานวิจัยและมีนักศึกษาปริญญาเอกหลายคน รวมถึงฟูจิซาวะ ริกิตาโร ลุดวิก เมาเรอร์ และพอล เอปสไตน์ คริสโตเฟลเกษียณจากมหาวิทยาลัยสทราซบูร์ในปี ค.ศ. 1894 โดยมีไฮน์ริช เวเบอร์ เข้ามารับตำแหน่งต่อจากเขา
1.4. การเกษียณอายุและการเสียชีวิต
หลังจากเกษียณอายุ เขายังคงทำงานและตีพิมพ์ผลงาน โดยบทความสุดท้ายของเขาเสร็จสิ้นก่อนที่เขาจะเสียชีวิตไม่นานและได้รับการตีพิมพ์หลังจากเสียชีวิต คริสโตเฟลเสียชีวิตเมื่อวันที่ 15 มีนาคม ค.ศ. 1900 ที่เมืองสทราซบูร์
2. ผลงานสำคัญ
ผลงานของคริสโตเฟลครอบคลุมหลายสาขา รวมถึงการแปลงเชิงมุม ทฤษฎีศักย์ ทฤษฎีอินแวเรียนต์ การวิเคราะห์เทนเซอร์ ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ธรณีวิทยา และคลื่นกระแทก
2.1. เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
คริสโตเฟลเป็นที่จดจำหลักจากผลงานสำคัญของเขาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ในบทความที่มีชื่อเสียงในปี ค.ศ. 1869 ที่ตีพิมพ์ใน Crelle's Journal เกี่ยวกับปัญหาความสมมูลสำหรับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ในตัวแปร n เขาได้นำเสนอเทคนิคพื้นฐานที่ต่อมาเรียกว่าการหาอนุพันธ์ร่วม (covariant differentiation) และใช้มันเพื่อกำหนดเทนเซอร์รีมันน์-คริสโตเฟล (Riemann-Christoffel tensor) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้บ่อยที่สุดในการแสดงความโค้งของแมนิโฟลด์รีมันน์ ในบทความเดียวกัน เขาได้นำเสนอสัญลักษณ์คริสโตเฟล (Christoffel symbols) Gammakij และ Gammakij ซึ่งแสดงส่วนประกอบของการเชื่อมต่อเลวี-ชิวิตา (Levi-Civita connection) ที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดท้องถิ่น แนวคิดของคริสโตเฟลได้รับการขยายและพัฒนาอย่างมากโดยเกรกอริโอ ริชชี-เคอร์บาสโตร (Gregorio Ricci-Curbastro) และตูลลิโอ เลวี-ชิวิตา (Tullio Levi-Civita) นักศึกษาของเขา ซึ่งได้เปลี่ยนแนวคิดเหล่านี้ให้เป็นแนวคิดของเทนเซอร์และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ (absolute differential calculus) แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ ซึ่งต่อมาเรียกว่าแคลคูลัสเทนเซอร์ ได้ก่อให้เกิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
2.2. การวิเคราะห์เชิงซ้อน
คริสโตเฟลมีส่วนร่วมในการการวิเคราะห์เชิงซ้อน โดยที่ฟังก์ชันการแปลงชวาร์ซ-คริสโตเฟล (Schwarz-Christoffel mapping) เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแปลงรีมันน์ (Riemann mapping theorem) ที่ไม่เป็นเรื่องเล็กน้อยและสร้างสรรค์เป็นครั้งแรก ฟังก์ชันการแปลงชวาร์ซ-คริสโตเฟลมีการประยุกต์ใช้มากมายในทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวงรีและในสาขาฟิสิกส์ ในสาขาฟังก์ชันเชิงวงรี เขายังได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับปริพันธ์อาบีเลียน (abelian integral) และฟังก์ชันเทตา (theta function)
2.3. การวิเคราะห์เชิงตัวเลข
คริสโตเฟลได้ขยายวิธีการหาปริพันธ์การหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน (Gaussian quadrature) และในส่วนที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ เขายังได้นำเสนอสูตรคริสโตเฟล-ดาร์บู (Christoffel-Darboux formula) สำหรับพหุนามเลอฌ็องด์ (Legendre polynomial) (ต่อมาเขายังได้ตีพิมพ์สูตรสำหรับพหุนามเชิงตั้งฉากทั่วไปด้วย)
2.4. ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์และการวิจัยอื่นๆ
คริสโตเฟลยังได้ทำงานในทฤษฎีศักย์ (potential theory) และทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม งานวิจัยส่วนใหญ่ของเขาในสาขาเหล่านี้ไม่เป็นที่สังเกตเห็น เขาได้ตีพิมพ์บทความสองชิ้นเกี่ยวกับการแพร่กระจายของความไม่ต่อเนื่องในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งเป็นผลงานบุกเบิกในทฤษฎีคลื่นกระแทก เขายังศึกษาฟิสิกส์และตีพิมพ์ผลงานวิจัยในทัศนศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ผลงานของเขาในสาขานี้ได้สูญเสียประโยชน์ใช้สอยไปอย่างรวดเร็วเมื่อแนวคิดของอีเทอร์เรืองแสงถูกละทิ้งไป
3. ชีวิตส่วนตัว
คริสโตเฟลไม่เคยแต่งงานและไม่มีครอบครัว
4. เกียรติยศและรางวัล
คริสโตเฟลได้รับเลือกเป็นสมาชิกสมทบของสถาบันหลายแห่ง:
- สถาบันวิทยาศาสตร์ปรัสเซีย (ค.ศ. 1868)
- Istituto Lombardo (ค.ศ. 1868)
- สถาบันวิทยาศาสตร์เกิททิงเงิน (ค.ศ. 1869)
คริสโตเฟลยังได้รับเครื่องราชอิสริยาภรณ์สองชิ้นจากราชอาณาจักรปรัสเซียสำหรับกิจกรรมของเขา:
- เครื่องราชอิสริยาภรณ์อินทรีแดง ชั้นที่ 3 พร้อมริบบิ้น (ค.ศ. 1893)
- เครื่องราชอิสริยาภรณ์มงกุฎ (ปรัสเซีย) ชั้นที่ 2 (ค.ศ. 1895)
5. ผลกระทบและการประเมิน
ผลงานของคริสโตเฟลมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์ในยุคต่อมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์
5.1. อิทธิพลต่อคนรุ่นหลัง
แนวคิดของคริสโตเฟล โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหาอนุพันธ์ร่วม สัญลักษณ์คริสโตเฟล และเทนเซอร์รีมันน์-คริสโตเฟล ได้รับการยอมรับและพัฒนาอย่างกว้างขวางในสาขาต่างๆ เช่น แคลคูลัสเทนเซอร์ ซึ่งได้กลายเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในฟิสิกส์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ซึ่งใช้แคลคูลัสเทนเซอร์เป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์
5.2. การประเมินผลงานทางวิชาการ
ความสำเร็จของคริสโตเฟลถือเป็นรากฐานสำคัญในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์และมีผลกระทบพื้นฐานต่อความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ ผลงานของเขาได้วางรากฐานสำหรับการพัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ซึ่งได้นำไปสู่ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับธรรมชาติของอวกาศและเวลาในฟิสิกส์