มาร์ติน ครูสคัล

1.1. วัยเด็กและการศึกษา

มาร์ติน เดวิด ครูสคาล เกิดเมื่อวันที่ 28 กันยายน ค.ศ. 1925 ในนครนิวยอร์ก และเติบโตขึ้นในเมืองนิวโรเชลล์ ในครอบครัวชาวยิว บิดาของเขาคือ โจเซฟ บี. ครูสคาล ซีเนียร์ (Joseph B. Kruskal Sr.^{ภาษาอังกฤษ}) เป็นผู้ค้าส่งขนสัตว์ที่ประสบความสำเร็จ ส่วนมารดาของเขาคือ ลิลเลียน โรส วอร์เฮาส์ ครูสคาล ออพเพนไฮเมอร์ (Lillian Rose Vorhaus Kruskal Oppenheimer^{ภาษาอังกฤษ}) ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นผู้ส่งเสริมศิลปะการพับกระดาษที่มีชื่อเสียงในช่วงยุคแรกของโทรทัศน์ และได้ก่อตั้งศูนย์พับกระดาษแห่งอเมริกาในนครนิวยอร์ก ซึ่งต่อมาได้เปลี่ยนชื่อเป็น OrigamiUSA

เขาเป็นหนึ่งในห้าพี่น้อง และมีพี่ชายสองคนซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่นกัน ได้แก่ โจเซฟ ครูสคาล (Joseph Kruskal; ค.ศ. 1928-2010) ผู้ค้นพบมาตราส่วนหลายมิติ, ทฤษฎีบทต้นไม้ของครูสคาล, และขั้นตอนวิธีของครูสคาล และวิลเลียม ครูสคาล (William Kruskal; ค.ศ. 1919-2005) ผู้ค้นพบการทดสอบครูสคาล-วัลลิส ครูสคาลเป็นที่รู้จักในวงการภายนอกในชื่อ "มาร์ติน" แต่ในหมู่ครอบครัวเขาจะถูกเรียกว่า "เดวิด"

ในด้านการศึกษา ครูสคาลได้เข้าศึกษาที่มหาวิทยาลัยชิคาโก และต่อมาที่มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก ที่นั่นเขาได้เขียนวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกในหัวข้อ "The Bridge Theorem For Minimal Surfaces" ภายใต้การดูแลของริชาร์ด คูรันต์ และเบอร์นาร์ด ฟรีดแมน และได้รับปริญญาเอกในปี ค.ศ. 1952

1.2. อาชีพทางวิชาการ

หลังจากสำเร็จการศึกษา มาร์ติน ครูสคาลได้เริ่มต้นอาชีพที่เต็มไปด้วยความสำเร็จในสถาบันการศึกษาชั้นนำหลายแห่ง เขาใช้เวลาส่วนใหญ่ในอาชีพที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน โดยเริ่มจากการเป็นนักวิจัยที่ห้องปฏิบัติการฟิสิกส์พลาสมาในปี ค.ศ. 1951 ต่อมาในปี ค.ศ. 1961 เขาได้รับตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์ด้านดาราศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1968 ครูสคาลได้แสดงบทบาทสำคัญในการก่อตั้งและเป็นประธานของโครงการคณิตศาสตร์ประยุกต์และคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ (Program in Applied and Computational Mathematics) ซึ่งเป็นจุดเด่นในอาชีพของเขา และในปี ค.ศ. 1979 เขาได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์

ครูสคาลเกษียณจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในปี ค.ศ. 1989 และหลังจากนั้นไม่นาน เขาก็ได้เข้าร่วมภาควิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส โดยดำรงตำแหน่ง David Hilbert Chair of Mathematics ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ทรงเกียรติ

2.1. การวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

ความสนใจทางวิทยาศาสตร์ของมาร์ติน ครูสคาลครอบคลุมหัวข้อต่างๆ ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์กับวิทยาศาสตร์ เขามีความสนใจตลอดชีวิตในหลายหัวข้อของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้น และได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับอนุกรมเชิงเส้นกำกับ (asymptotic expansions), ค่าคงที่แบบหน่วง (adiabatic invariants) และหัวข้อที่เกี่ยวข้องอีกมากมาย

วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาภายใต้การดูแลของริชาร์ด คูรันต์และเบอร์นาร์ด ฟรีดแมน ที่มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก ในหัวข้อ "The Bridge Theorem For Minimal Surfaces" ซึ่งเป็นผลงานสำคัญในการเริ่มต้นอาชีพการวิจัยของเขา

2.2. ฟิสิกส์พลาสมา

ในช่วงทศวรรษ 1950s และต้นทศวรรษ 1960s ครูสคาลทำงานส่วนใหญ่เกี่ยวกับฟิสิกส์พลาสมา โดยได้พัฒนาแนวคิดจำนวนมากซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นฐานสำคัญในสาขาวิชานี้ ทฤษฎีค่าคงที่แบบหน่วงของเขามีความสำคัญอย่างยิ่งในการวิจัยฟิวชัน แนวคิดสำคัญในฟิสิกส์พลาสมาที่ตั้งชื่อตามเขารวมถึงความไม่เสถียรของครูสคาล-ชาฟรานอฟ และโหมดเบิร์นสไตน์-กรีน-ครูสคาล (BGK) ร่วมกับไอ. บี. เบิร์นสไตน์, อี. เอ. ฟรีแมน และอาร์. เอ็ม. คุลสรุด เขาได้พัฒนาหลักการพลังงานเอ็มเอชดี (MHD Energy Principle) ความสนใจของเขาขยายไปถึงฟิสิกส์ดาราศาสตร์ของพลาสมา เช่นเดียวกับพลาสมาในห้องปฏิบัติการ

2.3. ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ในปี ค.ศ. 1960 ครูสคาลได้ค้นพบโครงสร้างกาลอวกาศแบบคลาสสิกเต็มรูปแบบของหลุมดำประเภทที่ง่ายที่สุดในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป กาลอวกาศที่มีสมมาตรทรงกลมสามารถอธิบายได้ด้วยผลเฉลยของชวาร์ซชิลด์ ซึ่งถูกค้นพบในช่วงแรกๆ ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบดั้งเดิม ผลเฉลยนี้อธิบายได้เฉพาะบริเวณภายนอกขอบฟ้าเหตุการณ์ของหลุมดำเท่านั้น ครูสคาล (พร้อมกับจอร์จ เซเกเรส) ได้ค้นพบค่าต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์สูงสุดของผลเฉลยของชวาร์ซชิลด์ ซึ่งเขาได้นำเสนออย่างสง่างามโดยใช้สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าพิกัดครูสคาล-เซเกเรส

สิ่งนี้นำครูสคาลไปสู่การค้นพบที่น่าอัศจรรย์ว่าภายในของหลุมดำมีลักษณะเหมือน "รูหนอน" ที่เชื่อมโยงจักรวาลระนาบเชิงเส้นกำกับที่เหมือนกันสองแห่ง นี่เป็นตัวอย่างแรกจริงๆ ของผลเฉลยรูหนอนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป รูหนอนนี้จะยุบตัวลงสู่ภาวะเอกฐานก่อนที่ผู้สังเกตการณ์หรือสัญญาณใดๆ จะสามารถเดินทางจากจักรวาลหนึ่งไปยังอีกจักรวาลหนึ่งได้ ปัจจุบันเชื่อกันว่านี่คือชะตากรรมทั่วไปของรูหนอนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ในทศวรรษ 1970s เมื่อธรรมชาติเชิงความร้อนของฟิสิกส์หลุมดำถูกค้นพบ คุณสมบัติรูหนอนของผลเฉลยของชวาร์ซชิลด์กลายเป็นส่วนประกอบสำคัญ ปัจจุบันถือเป็นเบาะแสพื้นฐานในการพยายามทำความเข้าใจแรงโน้มถ่วงเชิงควอนตัม

2.4. โซลิตอนและระบบปริพันธ์ได้

ผลงานที่ได้รับการยอมรับมากที่สุดของครูสคาลคือการค้นพบความสามารถในการหาปริพันธ์ได้ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นบางประเภทที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงพื้นที่หนึ่งตัวและเวลาด้วย ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960s การพัฒนาเหล่านี้เริ่มต้นจากการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ที่บุกเบิกโดยครูสคาลและนอร์แมน ซาบูสกี (โดยความช่วยเหลือจากแฮร์รี ไดม์) ของสมการแบบไม่เชิงเส้นที่เรียกว่าสมการคอร์เทอเวก-เดอฟรีส (KdV) สมการ KdV เป็นแบบจำลองเชิงเส้นกำกับของการแพร่กระจายของคลื่นแบบไม่เชิงเส้นกระจายตัว แต่ครูสคาลและซาบูสกีได้ค้นพบ "คลื่นเดี่ยว" ที่น่าตกใจ ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ KdV ที่แพร่กระจายโดยไม่กระจายตัว และยังคงรักษารูปทรงเดิมไว้ได้หลังจากชนกับคลื่นลักษณะเดียวกันอื่นๆ เนื่องจากคุณสมบัติคล้ายอนุภาคของคลื่นดังกล่าว พวกเขาจึงตั้งชื่อมันว่า "โซลิตอน" ซึ่งเป็นคำที่ได้รับความนิยมเกือบจะในทันที

งานนี้ได้รับแรงบันดาลใจส่วนหนึ่งจากปริศนาการเกิดซ้ำที่สังเกตได้ในการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ยุคแรกๆ ของโครงข่ายไม่เชิงเส้นบางชนิด โดยเอ็นริโก แฟร์มี, จอห์น พาสตา, สตาญิสวัฟ อูลัม และแมรี ชิงกู ที่ลอสอาลามอสในปี ค.ศ. 1955 นักวิจัยเหล่านั้นสังเกตพฤติกรรมการเกิดซ้ำเกือบเต็มรูปแบบเป็นเวลานานของโซ่ห่วงฮาร์มอนิกหนึ่งมิติ ซึ่งขัดแย้งกับการคาดการณ์การแปลงเป็นความร้อนอย่างรวดเร็ว ครูสคาลและซาบูสกีจำลองสมการ KdV ซึ่งครูสคาลได้มาจากขีดจำกัดต่อเนื่องของโซ่ห่วงหนึ่งมิตินั้น และพบพฤติกรรมโซลิตอนิก ซึ่งตรงข้ามกับการแปลงเป็นความร้อน นั่นกลายเป็นหัวใจสำคัญของปรากฏการณ์นี้

ปรากฏการณ์คลื่นเดี่ยวเป็นความลึกลับในศตวรรษที่ 19 ย้อนไปถึงงานของจอห์น สก็อตต์ รัสเซลล์ ผู้ซึ่งในปี ค.ศ. 1834 สังเกตสิ่งที่ปัจจุบันเราเรียกว่าโซลิตอนที่แพร่กระจายในคลอง และขี่ม้าไล่ตามมัน แม้การสังเกตการณ์ของเขาเกี่ยวกับโซลิตอนในการทดลองถังคลื่น สก็อตต์ รัสเซลล์ก็ไม่เคยตระหนักว่ามันคือโซลิตอน เนื่องจากเขามุ่งเน้นไปที่ "คลื่นการเลื่อนขนาดใหญ่" ซึ่งเป็นคลื่นเดี่ยวที่มีแอมพลิจูดสูงสุด การสังเกตการณ์เชิงทดลองของเขาที่นำเสนอในรายงานเกี่ยวกับคลื่นต่อสมาคมบริติชเพื่อความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์ในปี ค.ศ. 1844 ถูกมองด้วยความกังขาจากจอร์จ แอรีและจอร์จ สโตกส์ เนื่องจากทฤษฎีคลื่นน้ำเชิงเส้นของพวกเขาไม่สามารถอธิบายปรากฏการณ์เหล่านี้ได้ โจเซฟ บูสซิเนสค์ (ค.ศ. 1871) และลอร์ดเรย์ลีย์ (ค.ศ. 1876) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่ยืนยันการสังเกตการณ์ของสก็อตต์ รัสเซลล์ ในปี ค.ศ. 1895 ดีเดอริก คอร์เทอเวกและกุสตาฟ เดอ ฟรีส ได้กำหนดสมการ KdV เพื่ออธิบายคลื่นน้ำตื้น (เช่น คลื่นในคลองที่รัสเซลล์สังเกตเห็น) แต่คุณสมบัติที่สำคัญของสมการนี้ไม่เป็นที่เข้าใจจนกระทั่งงานของครูสคาลและผู้ร่วมงานของเขาในทศวรรษ 1960s

พฤติกรรมโซลิตอนิกชี้ให้เห็นว่าสมการ KdV จะต้องมีกฎการอนุรักษ์ที่นอกเหนือจากกฎการอนุรักษ์มวล, พลังงาน และโมเมนตัม ที่ชัดเจน กฎการอนุรักษ์ที่สี่ถูกค้นพบโดยเจอรัลด์ วิธัม และกฎการอนุรักษ์ที่ห้าโดยครูสคาลและซาบูสกี กฎการอนุรักษ์ใหม่หลายฉบับถูกค้นพบด้วยมือโดยโรเบิร์ต เอ็ม. มิอุระ ผู้ซึ่งยังแสดงให้เห็นว่ากฎการอนุรักษ์จำนวนมากมีอยู่สำหรับสมการที่เกี่ยวข้องซึ่งเรียกว่าสมการ Modified Korteweg-de Vries (MKdV) ด้วยกฎการอนุรักษ์เหล่านี้ มิอุระได้แสดงความเชื่อมโยง (เรียกว่าการแปลงมิอุระ) ระหว่างผลเฉลยของสมการ KdV และ MKdV นี่เป็นเบาะแสที่ทำให้ครูสคาลร่วมกับคลิฟฟอร์ด เอส. การ์ดเนอร์, จอห์น เอ็ม. กรีน และมิอุระ (GGKM) สามารถค้นพบเทคนิคทั่วไปสำหรับผลเฉลยที่แม่นยำของสมการ KdV และความเข้าใจเกี่ยวกับกฎการอนุรักษ์ของมัน นี่คือวิธีการกระเจิงผกผัน ซึ่งเป็นวิธีการที่น่าประหลาดใจและสง่างามที่แสดงให้เห็นว่าสมการ KdV อนุญาตให้มีปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ซึ่งสลับกันแบบปัวซองได้ไม่จำกัดจำนวน และสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ การค้นพบนี้เป็นพื้นฐานสมัยใหม่สำหรับความเข้าใจในปรากฏการณ์โซลิตอน: คลื่นเดี่ยวถูกสร้างขึ้นใหม่ในสถานะขาออกเนื่องจากเป็นวิธีเดียวที่จะตอบสนองกฎการอนุรักษ์ทั้งหมด ไม่นานหลังจาก GGKM ปีเตอร์ แลกซ์ ได้ตีความวิธีการกระเจิงผกผันในแง่ของการเปลี่ยนรูปไอโซสเปกตรัมและคู่แลกซ์

วิธีการกระเจิงผกผันได้รับการวางนัยทั่วไปและการประยุกต์ใช้ที่หลากหลายอย่างน่าอัศจรรย์ในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ครูสคาลเองเป็นผู้บุกเบิกการวางนัยทั่วไปบางอย่าง เช่น การมีอยู่ของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ไม่จำกัดจำนวนสำหรับสมการไซน์-กอร์ดอน สิ่งนี้นำไปสู่การค้นพบวิธีการกระเจิงผกผันสำหรับสมการนั้นโดย เอ็ม. เจ. แอบโลวิทซ์, ดี. เจ. คอล์ป, เอ. ซี. นิวเวลล์ และเอช. เซกูร์ (AKNS) สมการสมการไซน์-กอร์ดอนเป็นสมการคลื่นเชิงสัมพัทธภาพใน 1+1 มิติที่ยังแสดงปรากฏการณ์โซลิตอน และกลายเป็นแบบจำลองที่สำคัญของทฤษฎีสนามเชิงสัมพัทธภาพที่สามารถแก้ไขได้ ในงานบุกเบิกก่อน AKNS วลาดิเมียร์ อี. ซาคารอฟ และชาบัตได้ค้นพบวิธีการกระเจิงผกผันสำหรับสมการชโรดิงเงอร์ไม่เชิงเส้น

ปัจจุบันโซลิตอนเป็นที่รู้จักกันดีว่ามีอยู่ทุกหนทุกแห่งในธรรมชาติ ตั้งแต่ฟิสิกส์ไปจนถึงชีววิทยา ในปี ค.ศ. 1986 ครูสคาลและซาบูสกีได้รับเหรียญทอง Howard N. Potts จากสถาบันแฟรงคลิน "สำหรับการมีส่วนร่วมในฟิสิกส์คณิตศาสตร์และการผสมผสานการวิเคราะห์และการคำนวณอย่างสร้างสรรค์ในยุคแรกๆ แต่ที่สำคัญที่สุดคือสำหรับงานบุกเบิกในคุณสมบัติของโซลิตอน" ในการมอบรางวัลสติลในปี ค.ศ. 2006 ให้แก่การ์ดเนอร์, กรีน, ครูสคาล และมิอุระ สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันระบุว่าก่อนงานของพวกเขา "ไม่มีทฤษฎีทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาที่แม่นยำของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่สำคัญใดๆ" สมาคมฯ เสริมว่า "ในการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ โซลิตอนและสิ่งที่สืบเนื่องมา (kinks, anti-kinks, instantons, and breathers) ได้เข้าสู่และเปลี่ยนแปลงสาขาที่หลากหลาย เช่น ทัศนศาสตร์ไม่เชิงเส้น, ฟิสิกส์พลาสมา และสมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์บรรยากาศ, และวิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์ ความไม่เชิงเส้นได้มีการปฏิวัติ: จากความรำคาญที่ต้องกำจัด ไปสู่เครื่องมือใหม่ที่ต้องใช้ประโยชน์"

2.5. สมการแป็งเลอเว

ในทศวรรษ 1980s ครูสคาลเริ่มสนใจอย่างมากในสมการแป็งเลอเว (Painlevé equations) ซึ่งมักเกิดขึ้นจากการลดทอนสมมาตรของสมการโซลิตอน และครูสคาลก็สนใจความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดที่ดูเหมือนจะมีอยู่ระหว่างคุณสมบัติที่แสดงลักษณะเฉพาะของสมการเหล่านี้กับระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ งานวิจัยส่วนใหญ่ของเขาหลังจากนั้นได้รับแรงผลักดันจากความปรารถนาที่จะเข้าใจความสัมพันธ์นี้ และเพื่อพัฒนาวิธีการโดยตรงและเรียบง่ายใหม่ๆ สำหรับการศึกษาสมการแป็งเลอเว ครูสคาลไม่ค่อยพอใจกับวิธีการมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

สมการแป็งเลอเวทั้งหกสมการมีคุณสมบัติเฉพาะที่เรียกว่าคุณสมบัติแป็งเลอเว: ผลเฉลยของสมการเหล่านี้จะเป็นค่าเดียวรอบๆ จุดเอกฐานทั้งหมด ซึ่งตำแหน่งของจุดเอกฐานขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น ในความเห็นของครูสคาล เนื่องจากคุณสมบัตินี้เป็นตัวกำหนดสมการแป็งเลอเว เราควรจะสามารถเริ่มต้นจากสิ่งนี้ได้โดยไม่ต้องมีโครงสร้างเสริมที่ไม่จำเป็นใดๆ เพื่อหาข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเกี่ยวกับผลเฉลยของสมการเหล่านั้น ผลลัพธ์แรกคือการศึกษาเชิงเส้นกำกับของสมการแป็งเลอเวร่วมกับนาลินี โจชิ ซึ่งผิดปกติในเวลานั้นตรงที่ไม่ต้องใช้ปัญหาเชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง การตั้งคำถามอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับผลลัพธ์คลาสสิกของเขาได้นำไปสู่วิธีการโดยตรงและเรียบง่าย ซึ่งพัฒนาขึ้นร่วมกับโจชิ เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติแป็งเลอเวของสมการแป็งเลอเว

2.6. จำนวนเหนือจริงและอัสมพโทโลยี

ในช่วงหลังของอาชีพการงาน หนึ่งในความสนใจหลักของครูสคาลคือทฤษฎีจำนวนเหนือจริง (surreal numbers) จำนวนเหนือจริงซึ่งถูกนิยามในเชิงสร้างสรรค์ มีคุณสมบัติพื้นฐานและการดำเนินการทั้งหมดของจำนวนจริง โดยรวมถึงจำนวนจริงพร้อมกับอนันต์และอนันต์เล็กหลายประเภท ครูสคาลมีส่วนร่วมในการวางรากฐานของทฤษฎี ในการนิยามฟังก์ชันเหนือจริง และในการวิเคราะห์โครงสร้างของมัน เขาได้ค้นพบความเชื่อมโยงที่น่าทึ่งระหว่างจำนวนเหนือจริง, การวิเคราะห์เชิงเส้นกำกับ และการวิเคราะห์เชิงเส้นกำกับเชิงเลขชี้กำลัง คำถามสำคัญที่เปิดค้างอยู่ ซึ่งถูกตั้งขึ้นโดยคอนเวย์, ครูสคาล และนอร์ตัน ในช่วงปลายทศวรรษ 1970s และถูกตรวจสอบโดยครูสคาลด้วยความมุ่งมั่นอย่างยิ่ง คือฟังก์ชันเหนือจริงที่มีพฤติกรรมดีพอจะมีการหาปริพันธ์แบบแน่นอนหรือไม่ คำถามนี้ได้รับคำตอบเชิงลบในกรณีทั่วไปทั้งหมด ซึ่งคอนเวย์และคณะหวังไว้ โดยคอสติน, ฟรีดแมน และเออร์ลิช ในปี ค.ศ. 2015 อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ของคอสตินและคณะแสดงให้เห็นว่าการหาปริพันธ์แบบแน่นอนมีอยู่จริงสำหรับฟังก์ชันเหนือจริงในกลุ่มที่กว้างเพียงพอ ซึ่งวิสัยทัศน์ของครูสคาลเกี่ยวกับการวิเคราะห์เชิงเส้นกำกับที่กว้างขวางยังคงดำเนินต่อไป ในช่วงเวลาที่เขาเสียชีวิต ครูสคาลกำลังเขียนหนังสือเกี่ยวกับการวิเคราะห์เหนือจริงร่วมกับ โอ. คอสติน

ครูสคาลยังได้บัญญัติศัพท์ว่า "อัสมพโทโลยี" (asymptotology) เพื่ออธิบาย "ศิลปะในการจัดการกับระบบคณิตศาสตร์ประยุกต์ในกรณีจำกัด" เขาได้กำหนดหลักการเจ็ดประการของอัสมพโทโลยี:

• 1. หลักการทำให้ง่ายขึ้น (The Principle of Simplification)
• 2. หลักการวนซ้ำ (The Principle of Recursion)
• 3. หลักการตีความ (The Principle of Interpretation)
• 4. หลักการพฤติกรรมที่ไม่ปกติ (The Principle of Wild Behaviour)
• 5. หลักการทำลาย (The Principle of Annihilation)
• 6. หลักการสมดุลสูงสุด (The Principle of Maximal Balance)
• 7. หลักการที่ไร้สาระทางคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Nonsense)

คำว่าอัสมพโทโลยีไม่เป็นที่แพร่หลายเท่าคำว่าโซลิตอน วิธีการเชิงเส้นกำกับประเภทต่างๆ ได้รับการนำมาใช้อย่างประสบความสำเร็จเกือบตั้งแต่กำเนิดของวิทยาศาสตร์เอง อย่างไรก็ตาม ครูสคาลพยายามแสดงให้เห็นว่าอัสมพโทโลยีเป็นสาขาความรู้พิเศษ ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่างวิทยาศาสตร์และศิลปะในบางความหมาย ข้อเสนอของเขาได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างมาก