ทอรัลฟ์ สโกเลม

1.1. วัยเด็กและครอบครัว

โทรัลฟ์ อัลแบร์ต สโกเลม เกิดเมื่อวันที่ 23 พฤษภาคม ค.ศ. 1887 บิดาของเขาเป็นครูโรงเรียนประถม ขณะที่สมาชิกส่วนใหญ่ในครอบครัวขยายของเขาเป็นเกษตรกร ภูมิหลังที่หลากหลายนี้อาจมีส่วนในการหล่อหลอมมุมมองที่เป็นเอกลักษณ์ของเขาในภายหลัง

1.2. การศึกษา

สโกเลมเข้าเรียนในโรงเรียนมัธยมศึกษาที่คริสเตียเนีย (ซึ่งต่อมาเปลี่ยนชื่อเป็นออสโล) และสอบผ่านการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในปี ค.ศ. 1905 หลังจากนั้น เขาเข้าศึกษาต่อที่มหาวิทยาลัยออสโล (ในขณะนั้นคือ Det Kongelige Frederiks Universitet) เพื่อศึกษาคณิตศาสตร์ โดยยังคงเรียนวิชาอื่นๆ เช่น ฟิสิกส์ เคมี สัตววิทยา และพฤกษศาสตร์ ในปี ค.ศ. 1913 สโกเลมสอบผ่านการสอบของรัฐด้วยคะแนนดีเยี่ยม และสำเร็จวิทยานิพนธ์เรื่อง Investigations on the Algebra of Logic (การสำรวจพีชคณิตของตรรกะ) ในช่วงฤดูหนาวของปี ค.ศ. 1915 เขาใช้เวลาภาคเรียนที่มหาวิทยาลัยกอตทิงเงิน ซึ่งในขณะนั้นเป็นศูนย์วิจัยชั้นนำด้านคณิตตรรกศาสตร์ อภิคณิตศาสตร์ และพีชคณิตนามธรรม ซึ่งเป็นสาขาที่สโกเลมจะโดดเด่นในภายหลัง แม้ว่าในตอนแรกเขาจะไม่ได้ลงทะเบียนเป็นนักศึกษาปริญญาเอกอย่างเป็นทางการ โดยเชื่อว่าปริญญาเอกไม่จำเป็นในนอร์เวย์ แต่ต่อมาเขาก็เปลี่ยนใจและยื่นวิทยานิพนธ์ในปี ค.ศ. 1926 ในหัวข้อ Some theorems about integral solutions to certain algebraic equations and inequalities (ทฤษฎีบทบางประการเกี่ยวกับผลเฉลยจำนวนเต็มของสมการและอสมการพีชคณิตบางชนิด) โดยมีแอ็กเซล ทูเอเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาตามนาม แม้ว่าทูเอจะเสียชีวิตไปแล้วในปี ค.ศ. 1922

1.3. อาชีพช่วงต้นและการทำงานร่วมกับเบียร์เคอแลนด์

ในปี ค.ศ. 1909 สโกเลมเริ่มทำงานเป็นผู้ช่วยของคริสเตียน เบียร์เคอแลนด์ นักฟิสิกส์ผู้มีชื่อเสียงจากการระดมยิงทรงกลมแม่เหล็กด้วยอิเล็กตรอนและสังเกตปรากฏการณ์คล้ายแสงเหนือ ด้วยเหตุนี้ ผลงานตีพิมพ์ชิ้นแรกๆ ของสโกเลมจึงเป็นบทความทางฟิสิกส์ที่เขียนร่วมกับเบียร์เคอแลนด์ ในช่วงเวลานี้ เขายังได้เดินทางร่วมกับเบียร์เคอแลนด์ไปยังซูดานเพื่อสังเกตแสงจักรราศี

1.4. อาชีพทางวิชาการและชีวิตในมหาวิทยาลัย

ในปี ค.ศ. 1916 สโกเลมได้รับการแต่งตั้งให้เป็นนักวิจัยที่มหาวิทยาลัยออสโล และในปี ค.ศ. 1918 เขาได้เป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ (Docent) ด้านคณิตศาสตร์ และได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์และอักษรศาสตร์แห่งนอร์เวย์ สโกเลมยังคงสอนที่มหาวิทยาลัยออสโล (ซึ่งเปลี่ยนชื่อในปี ค.ศ. 1939) จนถึงปี ค.ศ. 1930 เมื่อเขากลายเป็นนักวิจัยสมทบที่สถาบันคริสเตียน มิคเคลเซนในเบอร์เกน ตำแหน่งอาวุโสนี้ทำให้สโกเลมสามารถทำการวิจัยได้โดยปราศจากภาระหน้าที่ด้านการบริหารและการสอน อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งนี้ยังกำหนดให้เขาต้องอาศัยอยู่ในเบอร์เกน ซึ่งในขณะนั้นเป็นเมืองที่ไม่มีมหาวิทยาลัยและห้องสมุดวิจัย ทำให้เขาไม่สามารถติดตามวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ได้อย่างต่อเนื่อง ในปี ค.ศ. 1938 เขาจึงกลับมายังออสโลเพื่อเข้ารับตำแหน่งศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย ที่นั่นเขาสอนวิชาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนในระดับบัณฑิตศึกษา และนานๆ ครั้งจึงจะสอนคณิตตรรกศาสตร์ ออยสไตน์ โอเร ซึ่งเป็นนักศึกษาปริญญาเอกเพียงคนเดียวของสโกเลม ได้ไปประกอบอาชีพในสหรัฐอเมริกา สโกเลมยังดำรงตำแหน่งประธานสมาคมคณิตศาสตร์นอร์เวย์ และเป็นบรรณาธิการของวารสาร Norsk Matematisk Tidsskrift ("วารสารคณิตศาสตร์นอร์เวย์") เป็นเวลาหลายปี นอกจากนี้ เขายังเป็นบรรณาธิการผู้ก่อตั้งวารสาร Mathematica Scandinavica อีกด้วย

1.5. ชีวิตส่วนตัว

ในปี ค.ศ. 1927 สโกเลมได้แต่งงานกับเอดิธ วิลเฮลมีเน ฮาสโวลด์ (Edith Wilhelmine Hasvold^{ภาษานอร์เวย์})

1.6. การเกษียณอายุและการเสียชีวิต

หลังจากเกษียณอายุในปี ค.ศ. 1957 สโกเลมได้เดินทางไปยังสหรัฐอเมริกาหลายครั้ง เพื่อบรรยายและสอนในมหาวิทยาลัยต่างๆ ที่นั่น เขายังคงมีบทบาททางปัญญาอย่างแข็งขันจนกระทั่งเสียชีวิตอย่างกะทันหันและไม่คาดฝันเมื่อวันที่ 23 มีนาคม ค.ศ. 1963

2.1. ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และทฤษฎีเซต

สโกเลมมีบทบาทสำคัญในการบุกเบิกคณิตตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต ในปี ค.ศ. 1922 เขาได้ปรับปรุงสัจพจน์ของเซร์เมโลสำหรับทฤษฎีเซต โดยแทนที่แนวคิดที่คลุมเครือของ "คุณสมบัติที่แน่นอน" ด้วยคุณสมบัติใดๆ ที่สามารถเขียนโค้ดในตรรกะอันดับหนึ่งได้ สัจพจน์ที่ได้นี้เป็นส่วนหนึ่งของสัจพจน์มาตรฐานของทฤษฎีเซตในปัจจุบัน สโกเลมยังชี้ให้เห็นถึงผลสืบเนื่องของทฤษฎีบทเลอเวนไฮม์-สโกเลม ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อปฏิทรรศน์ของสโกเลม โดยระบุว่าหากสัจพจน์ของเซร์เมโลมีความสอดคล้อง (consistent) แล้ว สัจพจน์เหล่านั้นจะต้องเป็นที่พอใจได้ภายในโดเมนที่นับได้ (countable domain) แม้ว่าสัจพจน์เหล่านั้นจะพิสูจน์การมีอยู่ของเซตอนับไม่ได้ก็ตาม

2.2. ทฤษฎีแบบจำลอง

สโกเลมเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกทฤษฎีแบบจำลอง ในปี ค.ศ. 1920 เขาได้ทำให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทเลอเวนไฮม์-สโกเลมง่ายขึ้นอย่างมาก ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่เลโอโปลด์ เลอเวนไฮม์พิสูจน์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1915 ทฤษฎีบทนี้ระบุว่า หากทฤษฎีอันดับหนึ่งที่นับได้มีแบบจำลองอนันต์ แล้วทฤษฎีนั้นก็จะมีแบบจำลองที่นับได้ด้วย การพิสูจน์ของเขาในปี ค.ศ. 1920 ใช้สัจพจน์การเลือก แต่ต่อมา (ในปี ค.ศ. 1922 และ ค.ศ. 1928) เขาได้ให้การพิสูจน์โดยใช้บทตั้งของคือนิกแทนสัจพจน์ดังกล่าว เป็นที่น่าสังเกตว่าสโกเลม เช่นเดียวกับเลอเวนไฮม์ ได้เขียนเกี่ยวกับคณิตตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซตโดยใช้สัญกรณ์ของชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพิร์ซและเออร์นสต์ ชโรเดอร์ (นักคณิตศาสตร์) ซึ่งเป็นผู้บุกเบิกทฤษฎีแบบจำลองร่วมกัน รวมถึงสัญกรณ์ Π และ Σ ในฐานะตัวบ่งปริมาณที่ผูกตัวแปร ซึ่งแตกต่างจากสัญกรณ์ของจูเซปเป เปอาโน และปรินซิเปีย แมเทมาติกา ในปี ค.ศ. 1934 สโกเลมยังเป็นผู้บุกเบิกการสร้างแบบจำลองที่ไม่มาตรฐานของเลขคณิตและทฤษฎีเซต

2.3. ทฤษฎีแลตทิซ

สโกเลมเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ที่เขียนเกี่ยวกับแลตทิซ ในปี ค.ศ. 1912 เขาเป็นคนแรกที่อธิบายแลตทิซแบบกระจายอิสระที่สร้างโดยองค์ประกอบ n ตัว ในปี ค.ศ. 1919 เขาแสดงให้เห็นว่าแลตทิซแบบอิมพลิเคทีฟทุกอัน (ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าแลตทิซของสโกเลม) เป็นแลตทิซแบบกระจาย และในทางกลับกัน แลตทิซแบบกระจายจำกัดทุกอันเป็นแบบอิมพลิเคทีฟ หลังจากที่ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกค้นพบซ้ำโดยผู้อื่น สโกเลมได้ตีพิมพ์บทความภาษาเยอรมันในปี ค.ศ. 1936 ชื่อ "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'" ซึ่งสำรวจผลงานก่อนหน้าของเขาในทฤษฎีแลตทิซ

2.4. สัจนิยมเชิงจำกัดและทฤษฎีการคำนวณได้

สโกเลมไม่เชื่อในแนวคิดของอนันต์ที่สมบูรณ์ และเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งสัจนิยมเชิงจำกัดในคณิตศาสตร์ ในปี ค.ศ. 1923 สโกเลมได้นำเสนอเลขคณิตปฐมภูมิแบบเวียนเกิดของเขา ซึ่งเป็นผลงานแรกๆ ที่มีส่วนร่วมในทฤษฎีฟังก์ชันคำนวณได้ เพื่อหลีกเลี่ยงสิ่งที่เรียกว่าปฏิทรรศน์ของอนันต์ ในงานนี้ เขาได้พัฒนาเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติโดยการนิยามวัตถุด้วยการเวียนเกิดปฐมภูมิก่อน จากนั้นจึงสร้างระบบอื่นเพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของวัตถุที่นิยามโดยระบบแรก ระบบทั้งสองนี้ทำให้เขาสามารถนิยามจำนวนเฉพาะและวางรากฐานทฤษฎีจำนวนได้เป็นจำนวนมาก หากระบบแรกสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นภาษาโปรแกรมสำหรับการนิยามวัตถุ และระบบที่สองเป็นตรรกะการเขียนโปรแกรมสำหรับการพิสูจน์คุณสมบัติเกี่ยวกับวัตถุ สโกเลมก็อาจถูกมองว่าเป็นผู้บุกเบิกวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีโดยไม่รู้ตัว

ในปี ค.ศ. 1929 เพรสเบอร์เกอร์พิสูจน์ว่าเลขคณิตของเปอาโนที่ไม่มีการคูณนั้นมีความสอดคล้อง สมบูรณ์ และตัดสินใจได้ ในปีต่อมา สโกเลมพิสูจน์ว่าสิ่งเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับเลขคณิตของเปอาโนที่ไม่มีการบวก ซึ่งเป็นระบบที่ตั้งชื่อว่าเลขคณิตของสโกเลมเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ผลงานที่มีชื่อเสียงของเคิร์ต เกอเดลในปี ค.ศ. 1931 คือเลขคณิตของเปอาโนเอง (ทั้งที่มีการบวกและการคูณ) นั้นไม่สมบูรณ์ และด้วยเหตุนี้จึงตัดสินใจไม่ได้

2.5. ทฤษฎีบทและแนวคิดสำคัญ

สโกเลมมีส่วนร่วมในการพัฒนาทฤษฎีบทและแนวคิดทางคณิตศาสตร์หลายอย่างที่สำคัญ ได้แก่:

• รูปแบบปกติของสโกเลม (Skolem Normal Form): แนวคิดสำคัญในตรรกะอันดับหนึ่งที่ใช้ในการแปลงสูตรให้เป็นรูปแบบมาตรฐานเพื่อวัตถุประสงค์ในการพิสูจน์
• เลขคณิตของสโกเลม (Skolem Arithmetic): ระบบของเลขคณิตที่ไม่มีการบวก ซึ่งสโกเลมพิสูจน์ว่ามีความสอดคล้อง สมบูรณ์ และตัดสินใจได้
• ทฤษฎีบทสโกเลม-เนอเทอร์ (Skolem-Noether Theorem): ทฤษฎีบทที่อธิบายลักษณะเฉพาะของสาทิสสัณฐานของพีชคณิตเชิงเดี่ยว สโกเลมตีพิมพ์การพิสูจน์ในปี ค.ศ. 1927 แต่เอมมี เนอเทอร์ได้ค้นพบมันอีกครั้งโดยอิสระในอีกไม่กี่ปีต่อมา
• ทฤษฎีบทสโกเลม-มาห์เลอร์-เลค (Skolem-Mahler-Lech Theorem): ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับการหาศูนย์ของลำดับเวียนเกิดเชิงเส้น
• ปฏิทรรศน์ของสโกเลม (Skolem's Paradox): ผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทเลอเวนไฮม์-สโกเลมที่ชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีเซตที่สอดคล้องอาจมีแบบจำลองที่นับได้ แม้ว่าจะพิสูจน์การมีอยู่ของเซตอนับไม่ได้ก็ตาม
• จำนวนพี-แอดิก (P-adic numbers): สโกเลมมีผลงานบางส่วนในสาขาทฤษฎีจำนวน รวมถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนพี-แอดิก

4.1. การประเมินเชิงบวก

ฮ่าว วัง (Hao Wang) ได้ยกย่องผลงานของสโกเลมว่า:

สโกเลมมักจะจัดการกับปัญหาทั่วไปด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม เขามักจะนำเสนอการพิสูจน์ในลำดับเดียวกับที่เขาค้นพบ ซึ่งส่งผลให้เกิดความไม่เป็นทางการที่สดใหม่และความไม่สมบูรณ์บางประการ บทความหลายชิ้นของเขาดูเหมือนรายงานความคืบหน้า ทว่าแนวคิดของเขามักจะเต็มไปด้วยศักยภาพและสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวาง เขาเป็น 'อิสระทางความคิด' อย่างมาก: เขาไม่ได้สังกัดโรงเรียนใดๆ ไม่ได้ก่อตั้งโรงเรียนของตัวเอง และมักจะไม่ใช้ผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักอย่างหนักหน่วง... เขาเป็นผู้ริเริ่มอย่างมาก และบทความส่วนใหญ่ของเขาสามารถอ่านและเข้าใจได้โดยผู้ที่ไม่มีความรู้เฉพาะทางมากนัก เป็นไปได้มากว่าหากเขายังหนุ่มในวันนี้ ตรรกะ... อาจจะไม่ดึงดูดเขา

4.2. คำวิจารณ์และข้อถกเถียง

ข้อจำกัดประการหนึ่งของผลงานของสโกเลมคือการที่เขาตีพิมพ์ผลงานส่วนใหญ่ในวารสารของนอร์เวย์ซึ่งมีการเผยแพร่ในระดับนานาชาติอย่างจำกัด ทำให้ผลลัพธ์ของเขาบางครั้งถูกค้นพบซ้ำโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทสโกเลม-เนอเทอร์ ซึ่งสโกเลมตีพิมพ์การพิสูจน์ในปี ค.ศ. 1927 แต่เอมมี เนอเทอร์ได้ค้นพบมันอีกครั้งโดยอิสระในอีกไม่กี่ปีต่อมา

4.3. อิทธิพลต่อคนรุ่นหลัง

สโกเลมมีบทบาทสำคัญในฐานะผู้บุกเบิกทฤษฎีแบบจำลอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทเลอเวนไฮม์-สโกเลมง่ายขึ้น และการสร้างแบบจำลองที่ไม่มาตรฐานของเลขคณิตและทฤษฎีเซต นอกจากนี้ ผลงานของเขาในเลขคณิตปฐมภูมิแบบเวียนเกิด (ค.ศ. 1923) ถือเป็นการมีส่วนร่วมในช่วงแรกๆ ที่สำคัญต่อทฤษฎีฟังก์ชันคำนวณได้ และอาจมองได้ว่าเขาเป็นผู้บุกเบิกวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีโดยไม่รู้ตัว แม้ว่าความสมบูรณ์ของตรรกะอันดับหนึ่งจะเป็นผลสืบเนื่องจากผลลัพธ์ที่สโกเลมพิสูจน์ในช่วงต้นทศวรรษ 1920 และกล่าวถึงในงานของเขาในปี ค.ศ. 1928 แต่เขากลับไม่ได้สังเกตเห็นข้อเท็จจริงนี้อย่างชัดเจน อาจเป็นเพราะนักคณิตศาสตร์และนักตรรกศาสตร์ยังไม่ตระหนักถึงความสมบูรณ์ในฐานะปัญหาอภิคณิตศาสตร์พื้นฐานอย่างเต็มที่ จนกระทั่งดาวิด ฮิลแบร์ทและวิลเฮล์ม แอคเคอร์มันน์ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนในหนังสือ Principles of Mathematical Logic ฉบับพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1928 ไม่ว่าในกรณีใด เคิร์ต เกอเดลเป็นคนแรกที่พิสูจน์ความสมบูรณ์นี้ในปี ค.ศ. 1930